Hladká algebra - Smooth algebra - Wikipedia

v algebra komutativní k-algebra A se říká, že je 0-hladký pokud splňuje následující vlastnosti zvedání: daný a k-algebra C, ideál N z C jehož čtverec je nula a a k-algebra mapa ${ displaystyle u: A až C / N}$, existuje a k-algebra mapa ${ displaystyle v: A až C}$ takhle u je proti následuje kanonická mapa. Pokud existuje maximálně jedno takové zvedání proti, pak A se říká, že je 0-unramified (nebo 0-čistý). A se říká, že je 0-étale Pokud to je 0-hladký a 0-unramified.

Konečně vygenerovaný k-algebra A je 0-hladký přes k právě tehdy, když Spec A je hladké schéma přes k.

A oddělitelný rozšíření algebraického pole L z k je 0-étale u konce k.^[1] Formální kruh mocninných řad ${ displaystyle k [! [t_ {1}, ldots, t_ {n}] !]}$ je 0-hladký, pouze když ${ displaystyle operatorname {char} k = p> 0}$ a ${ displaystyle [k: k ^ {p}] < infty}$ (tj., k má konečnou p-základ.)^[2]

Já-hladký

Nechat B být A-algebra a předpokládejme B je dána Já-adická topologie, Já ideál B. Říkáme B je Já-hladký A pokud splňuje vlastnost zvedání: vzhledem k A-algebra C, ideál N z C jehož čtverec je nula a A-algebra mapa ${ displaystyle u: B až C / N}$ to je nepřetržité, když ${ displaystyle C / N}$ je dána diskrétní topologie, existuje A-algebra mapa ${ displaystyle v: B až C}$ takhle u je proti následuje kanonická mapa. Stejně jako dříve, pokud existuje nejvýše jeden takový výtah proti, pak B se říká, že je Já- unramified přes A (nebo Já-elegantní). B se říká, že je Já-étale Pokud to je Já-hladký a Já- unramified. Li Já je nula ideální a A je pole, tyto pojmy se shodují s 0-hladkým atd., jak je definováno výše.

Standardní příklad je tento: let A ložisko, ${ displaystyle B = A [! [t_ {1}, ldots, t_ {n}] !]}$ a ${ displaystyle I = (t_ {1}, ldots, t_ {n}).}$ Pak B je Já-hladký A.

Nechat A být noetherian local k-algebra s maximálním ideálem ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$. Pak A je ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$-hladký k kdyby a jen kdyby ${ displaystyle A otimes _ {k} k '}$ je pravidelný prsten pro jakékoli konečné pole rozšíření ${ displaystyle k '}$ z k.^[3]

Viz také

• étale morphism
• formálně hladký morfismus
• Popescuova věta

Reference

• H. Matsumura Komutativní prstencová teorie. Z japonštiny přeložil M. Reid. Druhé vydání. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.