Hermanův prsten - Herman ring
V matematické disciplíně známé jako komplexní dynamika, Hermanův prsten je Fatou složka[1] Kde racionální funkce je konformně konjugován s iracionální rotace normy prstenec.
Formální definice
Jmenovitě pokud ƒ má Hermanův prsten U s tečkou str, pak existuje a konformní mapování
a iracionální číslo , takový, že
Takže dynamika na Hermanově prstenci je jednoduchá.
název
To bylo představeno a později pojmenováno po Michaelu Hermanovi (1979[2]), který jako první našel a zkonstruoval tento typ komponenty Fatou.
Funkce
- Polynomy nemají Hermanovy prsteny.
- Racionální funkce mohou mít Hermanovy prsteny
- Transcendentální celé mapy je nemají[3]
Příklady
Zde je příklad racionální funkce, která má Hermanův prsten.[1]
kde takové, že číslo rotace z ƒ na kruhu jednotky je .
Obrázek zobrazený vpravo je Julia set z ƒ: křivky v bílém prstenci jsou oběžné dráhy některých bodů pod iteracemi ƒ zatímco přerušovaná čára označuje jednotkový kruh.
Existuje příklad racionální funkce, která má Hermanův prsten, a některé periodické parabolické komponenty Fatou ve stejnou dobu.
Dále existuje racionální funkce, která má Hermanův prsten s periodou 2.
Zde je výraz této racionální funkce
kde
Tento příklad byl sestrojen kvazikonformní chirurgií[4]z kvadratického polynomu
který má Siegel disk s periodou 2. Parametry A, b, C se počítají podle pokus omyl.
Pronájem
pak období jednoho z Hermanova kruhu GA,b,C je 3.
Shishikura uveden také příklad:[5] racionální funkce, která má Hermanův prsten s periodou 2, ale výše uvedené parametry se liší od jeho.
Existuje tedy otázka: Jak najít vzorce racionálních funkcí, které mají Hermanovy prstence s vyšší periodou?
Podle výsledku Shishikura, pokud racionální funkce ƒ má Hermanův prsten, potom stupeň ƒ je nejméně 3. Existují také meromorfní funkce které mají Hermanovy prsteny.
Hermanovy prstence pro transcendentální meromorfní funkce byly studovány T. Nayakem. Podle výsledku Nayak, pokud existuje vynechaná hodnota pro takovou funkci, pak Hermanovy prstence období 1 nebo 2 neexistují. Rovněž je dokázáno, že pokud existuje pouze jeden pól a alespoň vynechaná hodnota, funkce nemá Hermanův prsten žádné periody.
Viz také
Reference
- ^ A b John Milnor, Dynamika v jedné komplexní proměnné: Třetí vydání, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006.
- ^ Herman, Michael-Robert (1979), „Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS (49): 5–233, ISSN 1618-1913, PAN 0538680
- ^ Vynechané hodnoty a Hermanovy prsteny Tarakanta Nayak.[úplná citace nutná ]
- ^ Mitsuhiro Shishikura, Kvazikonformní chirurgie racionálních funkcí. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 20 (1987), č. 2. 1, 1–29.
- ^ Mitsuhiro Shishikura, Chirurgie složitých analytických dynamických systémů, in "Dynamical Systems and Nonlinear Oscillations", Ed. Giko Ikegami, World Scientific Advanced Series in Dynamical Systems, 1, World Scientific, 1986, 93–105.