Brjuno číslo - Brjuno number

V matematice, a Brjuno číslo je speciální typ iracionální číslo.

Formální definice

An iracionální číslo ${ displaystyle alpha}$ se nazývá číslo Brjuno, když je nekonečný součet

{ displaystyle B ( alpha) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac { log q_ {n + 1}} {q_ {n}}}}

konverguje na konečné číslo

Tady:

${ displaystyle q_ {n}}$ je jmenovatelem $n$ th konvergentní ${ displaystyle { frac {p_ {n}} {q_ {n}}}}$ z pokračující zlomek expanze ${ displaystyle alpha}$ .
${ displaystyle B}$ je Funkce Brjuno

název

Čísla Brjuno jsou pojmenována po Alexander Bruno, který je představil Brjuno (1971); jsou také občas hláskovány Bruno čísla nebo Bryuno čísla.

Důležitost

Brjunova čísla jsou důležitá v problémech jednorozměrných analytických malých dělitelů. Bruno zlepšil diofantický stav v Siegelově větě, ukázal to bakterie z holomorfní funkce s lineární částí ${ displaystyle e ^ {2 pi i alpha}}$ jsou linearizovatelný -li ${ displaystyle alpha}$ je číslo Brjuno. Jean-Christophe Yoccoz (1995 ) ukázal v roce 1987, že tato podmínka je také nezbytná a pro kvadratické polynomy je nutná a dostatečná.

Vlastnosti

Tato čísla intuitivně nemají mnoho velkých „skoků“ v posloupnosti konvergentů, ve kterých jmenovatel (n + 1) th konvergentní je exponenciálně větší než u nth konvergentní. Na rozdíl od Liouvilleova čísla, nemají neobvykle přesné údaje diophantine aproximace podle racionální čísla.

Funkce Brjuno

Skutečná funkce Brjuno ${ displaystyle B (x)}$ je definován pro iracionální X a uspokojuje

{ displaystyle B (x) = B (x + 1)}

{ displaystyle B (x) = - log x + xB (1 / x)}

pro všechny iracionální X mezi 0 a 1.

Viz také

Transcendentní číslo

Reference

Brjuno, Alexander D. (1971), "Analytická forma diferenciálních rovnic. I, II", Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva, 25: 119–262, ISSN 0134-8663, PAN 0377192
Lee, Eileen F. (jaro 1999), "Struktura a topologie čísel Brjuno" (PDF), Sborník z konference o topologii a dynamice z roku 1999 (Salt Lake City, UT), Topologické řízení, 24, s. 189–201, PAN 1802686
Marmi, Stefano; Moussa, Pierre; Yoccoz, Jean-Christophe (2001), „Complex Brjuno functions“, Journal of the American Mathematical Society, 14 (4): 783–841, doi:10.1090 / S0894-0347-01-00371-X, ISSN 0894-0347, PAN 1839917
Yoccoz, Jean-Christophe (1995), „Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques“, Petits diviseurs en dimenze 1, Astérisque, 231, str. 3–88, PAN 1367353