Normální rodina - Normal family
v matematika, se speciální aplikací do komplexní analýza, a normální rodina je pre-kompaktní podmnožina prostoru spojité funkce. Neformálně to znamená, že funkce v rodině nejsou příliš rozšířené, ale spíše drží pohromadě poněkud „shlukovaným“ způsobem. Někdy, pokud každá funkce v normální rodině F splňuje určitou vlastnost (např. je holomorfní ), pak vlastnost také platí pro každou z nich mezní bod sady F.
Více formálně, pojďme X a Y být topologické prostory. Sada spojitých funkcí má přirozený topologie volal kompaktně otevřená topologie. A normální rodina je pre-kompaktní podmnožina s ohledem na tuto topologii.
Li Y je metrický prostor, pak je kompaktně otevřená topologie ekvivalentní topologii kompaktní konvergence,[1] a získáme definici, která se blíží té klasické: Sbírka F spojitých funkcí se nazývá a normální rodina pokud každý sekvence funkcí v F obsahuje a subsekvence který konverguje rovnoměrně na kompaktní podmnožiny z X na spojitou funkci od X na Y. To znamená pro každou posloupnost funkcí v F, existuje subsekvence a spojitá funkce z X na Y tak, že následující platí pro všechny kompaktní podmnožina K. obsaženo v X:
kde je metrický z Y.
Normální rodiny holomorfních funkcí
Koncept vznikl v komplexní analýza, to je studie holomorfní funkce. V tomto případě, X je otevřená podmnožina z složité letadlo, Y je komplexní rovina a metrika zapnuta Y je dána . Jako důsledek Cauchyho integrální věta posloupnost holomorfních funkcí, která konverguje rovnoměrně na kompaktních množinách, musí konvergovat k holomorfní funkci. To je každý mezní bod normální rodiny je holomorfní.
Normální rodiny holomorfních funkcí poskytují nejrychlejší způsob prokázání Riemannova věta o mapování.[2]
Obecněji, pokud jsou mezery X a Y jsou Riemannovy povrchy, a Y je vybaven metrikou pocházející z věta o uniformizaci, pak každý mezní bod normální rodiny holomorfních funkcí je také holomorfní.
Například pokud Y je Riemannova koule, pak metrika uniformizace je sférická vzdálenost. V tomto případě holomorfní funkce z X na Y se nazývá a meromorfní funkce, a tak je každý mezní bod normální rodiny meromorfních funkcí meromorfní funkcí.
Kritéria
V klasickém kontextu holomorfních funkcí existuje několik kritérií, která lze použít k určení, že množina je normální rodina:Montelova věta uvádí, že množina místně ohraničených holomorfních funkcí je normální. The Montel-Caratheodory věta říká, že sběr meromorfních funkcí, které vynechávají hodnoty nula a jedna, je normální.
Martyho věta[3]poskytuje kritérium, které je ekvivalentní definici v kontextu meromorfních funkcí: Sada F meromorfních funkcí z a doména do komplexní roviny je normální rodina právě tehdy, když pro každou kompaktní podmnožinu K. z U existuje konstanta C takže pro každého a každý z v K. my máme
Výraz vlevo je ve skutečnosti vzorcem pro zarazit z délka oblouku prvek na Riemannova koule do komplexní roviny pomocí inverzní funkce k stereografická projekce.
Dějiny
Paul Montel poprvé vytvořil pojem „normální rodina“ v roce 1911.[4][5]Protože koncept normální rodiny byl pro složitou analýzu neustále velmi důležitý, terminologie Montelu se dodnes používá, i když z moderního pohledu je výraz pre-kompaktní podmnožina může být preferován některými matematiky. Všimněte si, že ačkoli pojem kompaktní otevřené topologie zevšeobecňuje a objasňuje koncept, v mnoha aplikacích je původní definice praktičtější.
Viz také
Poznámky
- ^ Munkres. Topologie`` Věta 46.8.
- ^ Viz například
- ^ Gamelin. Komplexní analýza, oddíl 12.1.
- ^ P. Montel, C. R. Acad. Sci. Paris 153 (1911), 996–998; Jahrbuch 42, strana 426
- ^ Remmert, Rienhard (1998). Klasická témata v teorii složitých funkcí. Přeložila Leslie Kay. Springer. p. 154. Citováno 2009-03-01.
Reference
- Ahlfors, Lars V. (1953), Složitá analýza. Úvod do teorie analytických funkcí jedné komplexní proměnné, McGraw-Hill
- Ahlfors, Lars V. (1966), Složitá analýza. Úvod do teorie analytických funkcí jedné komplexní proměnné, International Series in Pure and Applied Mathematics (2. vyd.), McGraw-Hill
- Ahlfors, Lars V. (1978), Složitá analýza. Úvod do teorie analytických funkcí jedné komplexní proměnné, International Series in Pure and Applied Mathematics (3. vydání), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
- Beardon, Alan F. (1979), Komplexní analýza. Princip argumentů v analýze a topologiiJohn Wiley & Sons, ISBN 0471996718
- Chuang, Chi Tai (1993), Normální rodiny meromorfních funkcí, Světově vědecký, ISBN 9810212577
- Conway, John B. (1978). Funkce jedné komplexní proměnné I.. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
- Gamelin, Theodore W. (2001). Složitá analýza. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95093-1.
- Marty, Frederic : Znovu proběhne rozdělení úkolů do funkce měromorphe. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 1931, 28, N 3, str. 183–261.
- Montel, Paul (1927), Leçons sur les familles normales de fonctions analyticques et leur applications (ve francouzštině), Gauthier-Villars
- Munkres, James R. (2000). Topologie. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Schiff, J.L. (1993). Normální rodiny. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.
Tento článek obsahuje materiál z běžné rodiny PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.