Domněnka André – Oort - André–Oort conjecture

v matematika, Domněnka André – Oort je otevřeným problémem v Diophantine geometrie, pobočka teorie čísel, který staví na myšlenkách nalezených v Dohoda Manin – Mumford, což je nyní věta. Prototypnou verzi domněnky uvedl Yves André v roce 1989[1] a obecnější verze se domnívala Frans Oort v roce 1995.[2] Moderní verze je přirozeným zobecněním těchto dvou domněnek.

Tvrzení

Domněnka v její moderní podobě je následující. Každá neredukovatelná složka Zariski uzavření sady zvláštních bodů v a Odrůda Shimura je speciální podrodina.

Andréova první verze domněnky byla jen pro jednorozměrné poddruhy odrůd Shimura, zatímco Oort navrhl, že by to mělo fungovat s poddruhy prostoru modulů hlavně polarizovaný Abelianské odrůdy dimenze G.

Částečné výsledky

K úplnému domněnce byly dosaženy různé výsledky od Ben Moonen, Yves André, Andrei Yafaev, Bas Edixhoven, Laurent Clozel, a Emmanuel Ullmo, mezi ostatními. Většina z těchto výsledků byla podmíněna zobecněná Riemannova hypotéza být pravdivý. V roce 2009, Jonathan Pila použité techniky z o-minimální geometrie a teorie transcendentních čísel dokázat domněnku pro libovolné produkty modulární křivky,[3][4] výsledek, který mu vynesl rok 2011 Clay Research Award.[5]

Pro případ Modulární odrůda Siegel, práce Pily a Jacob Tsimerman vyústil v důkaz domněnky André – Oort redukcí problému na zprůměrovaný Colmezův dohad což následně prokázal Xinyi Yuan a Shou-Wu Zhang a nezávisle Andreatta, Goren, Howard a Madapusi-Pera.[6]

Coleman – Oortova domněnka

Příbuzná domněnka, která má dvě formy, ekvivalentní, pokud se předpokládá domněnka André – Oort, je Coleman – Oortova domněnka. Robert Coleman domníval se, že pro dostatečně velké G, existuje pouze konečně mnoho hladkých projektivních křivek C rodu G, tak, že Jacobian odrůda J(C) je abelianská odrůda typu CM. Oort pak předpokládal, že Lokalita Torelli - z moduli prostor abelianských odrůd dimenze g - má dostatečně velký G žádná speciální poddruh dimenze> 0, která protíná obraz Mapování Torelli v husté otevřené podmnožině.[7]

Zobecnění

Stejně jako lze dohad André – Oort považovat za zobecnění dohadů Manin – Mumford, lze také zobecnit dohad André – Oort. Obvyklým uvažovaným zevšeobecňováním je Zilber-Pink dohad, otevřený problém, který kombinuje zobecnění dohadů André-Oort navrhovaných Richardem Pinkem[8] a domněnky Boris Zilber.[9][10]

Reference

  1. ^ André, Yves (1989), G-funkce a geometrieAspekty matematiky, E13, Vieweg.
  2. ^ Oort, Frans (1997), „Kanonické zvedání a husté sady bodů CM“, Fabrizio Catanese (ed.), Aritmetická geometrie, Cambridge: Cambridge University Press.
  3. ^ Pila, Jonathan (2009), „Racionální body definovatelných množin a výsledků typu André – Oort – Manin – Mumford“, Int. Matematika. Res. Ne. IMRN (13): 2476–2507.
  4. ^ Pila, Jonathan (2011), „O-minimalita a domněnka André – Oorta pro Cn", Annals of Mathematics, 173 (3): 1779–1840, doi:10.4007 / annals.2011.173.3.11.
  5. ^ Web Clay Research Award Archivováno 26.06.2011 na Wayback Machine
  6. ^ „Únor 2018“. Oznámení Americké matematické společnosti. 65 (2): 191. 2018. ISSN  1088-9477.
  7. ^ Carlson, James; Müller-Stach, Stefan; Peters, Chris (2017). Mapování období a domény období. Cambridge University Press. p. 285. ISBN  9781108422628.
  8. ^ Pink, Richard (2005), „Kombinace dohadů Mordell – Lang a André – Oort“, Geometrické metody v algebře a teorii číselPokrok v matematice, 253, Birkhauser, s. 251–282.
  9. ^ Zilber, Boris (2002), „Rovnice exponenciálních součtů a Schanuelova domněnka“, J. London Math. Soc., 65 (2): 27–44, doi:10.1112 / S0024610701002861.
  10. ^ Rémond, Gaël (2009), „Autour de la contraecture de Zilber – Pink“, J. Théor. Nombres Bordeaux (francouzsky), 21 (2): 405–414, doi:10,5802 / jtnb.677.

Další čtení