Antiisomorphism - Antiisomorphism

v teorie kategorií, pobočka matematika, an antiisomorphism (nebo anti-izomorfismus) mezi strukturované sady A a B je izomorfismus z A do naproti z B (nebo ekvivalentně z opaku A na B).^[1] Pokud existuje antiisomorphism mezi dvěma strukturami, jsou považovány za antiisomorphic.

Intuitivně lze říci, že dvě matematické struktury jsou antiisomorphic znamená, že jsou v zásadě protiklady jeden druhého.

Koncept je obzvláště užitečný v algebraickém prostředí, například když je aplikován na prsteny.

Jednoduchý příklad

Nechat A být binární relace (nebo řízený graf ) skládající se z prvků {1,2,3} a binárního vztahu ${ displaystyle rightarrow}$ definováno takto:

• ${ displaystyle 1 rightarrow 2,}$
• ${ displaystyle 1 rightarrow 3,}$
• ${ displaystyle 2 rightarrow 1.}$

Nechat B být binární relační sada skládající se z prvků {A,b,C} a binární relace ${ displaystyle Rightarrow}$ definováno takto:

• ${ displaystyle b Rightarrow a,}$
• ${ displaystyle c Rightarrow a,}$
• ${ displaystyle a Rightarrow b.}$

Všimněte si, že opak B (označeno B^op) je stejná sada prvků s opačným binárním vztahem ${ displaystyle Leftarrow}$ (to znamená obrátit všechny oblouky směrovaného grafu):

• ${ displaystyle b Leftarrow a,}$
• ${ displaystyle c Leftarrow a,}$
• ${ displaystyle a Leftarrow b.}$

Pokud vyměníme A, b, a C s 1, 2 a 3, vidíme, že každé pravidlo v B^op je stejné jako některé pravidlo v A. To znamená, že můžeme definovat izomorfismus ${ displaystyle phi}$ z A na B^op podle ${ displaystyle phi (1) = a, phi (2) = b, phi (3) = c}$. ${ displaystyle phi}$ je pak antiisomorphism mezi A a B.

Prsten anti-izomorfismy

Se specializací obecného jazyka teorie kategorií na algebraické téma prstenů máme: Let R a S být prsteny a F: R → S být bijekce. Pak F je prsten anti-izomorfismus^[2] -li

${ displaystyle f (x + _ {R} y) = f (x) + _ {S} f (y) {{text {a}} f (x cdot _ {R} y ) = f (y) cdot _ {S} f (x) { text {pro všechny}} x, y v R.}$

Li R = S pak F je prsten anti-automorfismus.

Příklad kruhového anti-automorfismu je dán konjugovaným mapováním čtveřice:^[3]

${ displaystyle x_ {0} + x_ {1} mathbf {i} + x_ {2} mathbf {j} + x_ {3} mathbf {k} mapsto x_ {0} -x_ { 1} mathbf {i} -x_ {2} mathbf {j} -x_ {3} mathbf {k}.}$

Poznámky

Reference

• Baer, ​​Reinhold (2005) [1952], Lineární algebra a projektivní geometrieDover, ISBN  0-486-44565-8
• Jacobson, Nathan (1948), Teorie prstenůAmerická matematická společnost, ISBN  0-8218-1502-4
• Pareigis, Bodo (1970), Kategorie a funktoryAkademický tisk, ISBN  0-12-545150-4