Diniho derivát - Dini derivative
v matematika a konkrétně skutečná analýza, Dini deriváty (nebo Diniho deriváty) jsou třídou zevšeobecňování derivát. Byli představeni Ulisse Dini který studoval spojité, ale nediferencovatelné funkce, pro které definoval takzvané Diniho deriváty.
The horní Diniho derivát, který se také nazývá derivace vpravo nahoře,[1] a spojitá funkce
je označen F a definováno
kde lim sup je limit nadřazenosti a limit je a jednostranný limit. The nižší Diniho derivát, F, je definováno
kde lim inf je minimální limit.
Li F je definován na a vektorový prostor, pak horní Diniho derivát v t ve směru d je definováno
Li F je lokálně Lipschitz, pak F je konečný. Li F je rozlišitelný na t, pak Diniho derivát v t je obvyklé derivát na t.
Poznámky
- Funkce jsou definovány z hlediska infimum a supremum aby Diniho deriváty byly co nejvíce „neprůstřelné“, aby byly Diniho deriváty dobře definovány pro téměř všechny funkce, dokonce i pro funkce, které nelze konvenčně odlišit. Výsledkem Diniho analýzy je, že funkce je v tomto bodě diferencovatelná t na skutečné linii (ℝ), pouze pokud existují všechny Diniho deriváty a mají stejnou hodnotu.
- Někdy notace D+ F(t) se používá místo F(t) a D− F(t) se používá místo F(t).[1]
- Taky,
a
- .
- Takže při použití D zápis derivátů Dini, znaménko plus nebo minus označuje levý nebo pravý limit a umístění znaménka označuje infimum nebo supremum omezit.
- Existují dva další deriváty Dini, definované jako
a
- .
které jsou stejné jako první pár, ale s supremum a infimum obráceně. U pouze mírně špatně vychovaných funkcí nejsou dva další deriváty Dini potřeba. U zvláště špatně chovaných funkcí, pokud mají všechny čtyři Diniho deriváty stejnou hodnotu () pak funkce F je v tomto bodě diferencovatelný v obvyklém smyslu t .
- Na rozšířené reality, každý z Diniho derivátů vždy existuje; mohou však nabývat hodnot +∞ nebo −∞ občas (tj. Diniho deriváty vždy existují v prodloužena smysl).
Viz také
Reference
- ^ A b Khalil, Hassan K. (2002). Nelineární systémy (3. vyd.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-067389-7.
- Lukašenko, T.P. (2001) [1994], „Diniho derivát“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
- Royden, H.L. (1968). Skutečná analýza (2. vyd.). MacMillan. ISBN 978-0-02-404150-0.
- Thomson, Brian S .; Bruckner, Judith B .; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementární reálná analýza. ClassicalRealAnalysis.com [první vydání vydané Prentice Hall v roce 2001]. 301–302. ISBN 978-1-4348-4161-2.
Tento článek včlení materiál od Diniho derivátu dále PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.[ověření se nezdařilo ]