Schnirelmannova hustota - Schnirelmann density - Wikipedia

v teorie aditivních čísel, Schnirelmannova hustota a sekvence čísel je způsob, jak měřit, jak „hustá“ je posloupnost. Je pojmenován po ruština matematik Lev Schnirelmann, který to studoval jako první.^[1][2]

Definice

The Schnirelmannova hustota sady přirozená čísla A je definován jako

${ displaystyle sigma A = inf _ {n} { frac {A (n)} {n}},}$

kde A(n) označuje počet prvků A nepřesahující n a inf je infimum.^[3]

Schnirelmannova hustota je dobře definována, i když je limit A(n)/n tak jako n → ∞ neexistuje (viz horní a dolní asymptotická hustota ).

Vlastnosti

Podle definice, 0 ≤ A(n) ≤ n a n σA ≤ A(n) pro všechny n, a proto 0 ≤ σA ≤ 1, a σA = 1 kdyby a jen kdyby A = N. Dále

${ displaystyle sigma A = 0 Rightarrow forall epsilon> 0 existuje n A (n) < epsilon n.}$

Citlivost

Schnirelmannova hustota je citlivá na první hodnoty množiny:

${ displaystyle forall k k notin A Rightarrow sigma A leq 1-1 / k}$.

Zejména,

${ displaystyle 1 notin A Rightarrow sigma A = 0}$

a

${ displaystyle 2 notin A Rightarrow sigma A leq { frac {1} {2}}.}$

V důsledku toho jsou Schnirelmannovy hustoty sudých čísel a lichých čísel, u nichž lze očekávat souhlas, 0 a 1/2. Schnirelmann a Jurij Linnik využil této citlivosti, jak uvidíme.

Schnirelmannovy věty

Pokud jsme nastavili ${ displaystyle { mathfrak {G}} ^ {2} = {k ^ {2} } _ {k = 1} ^ { infty}}$, pak Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích lze přepracovat jako ${ displaystyle sigma ({ mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G }} ^ {2}) = 1}$. (Zde symbol ${ displaystyle A oplus B}$ označuje souprava z ${ displaystyle A cup {0 }}$ a ${ displaystyle B cup {0 }}$.) Je jasné že ${ displaystyle sigma { mathfrak {G}} ^ {2} = 0}$. Ve skutečnosti stále máme ${ displaystyle sigma ({ mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2}) = 0}$, a dalo by se zeptat, v jakém okamžiku dosáhne sada množiny Schnirelmann hustoty 1 a jak se zvýší. Ve skutečnosti tomu tak je ${ displaystyle sigma ({ mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2}) = 5/6}$ a člověk vidí to shrnutí ${ displaystyle { mathfrak {G}} ^ {2}}$ opět přináší zalidněnější sadu, konkrétně všech ${ displaystyle mathbb {N}}$. Schnirelmann dále uspěl v rozvinutí těchto myšlenek do následujících vět, zaměřených na teorii aditivních čísel a dokázat, že jsou novým zdrojem (ne-li velmi silným) pro útok na důležité problémy, jako např. Waringův problém a Goldbachova domněnka.

Teorém. Nechat ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ být podmnožinami ${ displaystyle mathbb {N}}$. Pak

${ displaystyle sigma (A oplus B) geq sigma A + sigma B- sigma A cdot sigma B.}$

Všimněte si, že ${ Displaystyle sigma A + sigma B- sigma A cdot sigma B = 1- (1- sigma A) (1- sigma B)}$. Induktivně máme následující zevšeobecnění.

Důsledek. Nechat ${ displaystyle A_ {i} subseteq mathbb {N}}$ být konečnou rodinou podmnožin ${ displaystyle mathbb {N}}$. Pak

${ displaystyle sigma ( bigoplus _ {i} A_ {i}) geq 1- prod _ {i} (1- sigma A_ {i}).}$

Věta poskytuje první poznatky o tom, jak se hromadí soupravy. Zdá se nešťastné, že jeho závěr se nezastaví ${ displaystyle sigma}$ bytost superaditivum. Schnirelmann nám přesto poskytl následující výsledky, které pro většinu jeho účelů stačily.

Teorém. Nechat ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ být podmnožinami ${ displaystyle mathbb {N}}$. Li ${ displaystyle sigma A + sigma B geq 1}$, pak

${ displaystyle A oplus B = mathbb {N}.}$

Teorém. (Schnirelmann) Nechte ${ displaystyle A subseteq mathbb {N}}$. Li ${ displaystyle sigma A> 0}$ pak existuje ${ displaystyle k}$ takhle

${ displaystyle bigoplus _ {i = 1} ^ {k} A = mathbb {N}.}$

Aditivní báze

Podmnožina ${ displaystyle A subseteq mathbb {N}}$ s majetkem, který ${ displaystyle A oplus A oplus cdots oplus A = mathbb {N}}$ pro konečný součet se nazývá aditivní základ a nejmenší požadovaný počet součtů se nazývá stupeň (někdy objednat) základny. Poslední věta tedy uvádí, že jakákoli množina s pozitivní Schnirelmannovou hustotou je aditivní základ. V této terminologii je to sada čtverců ${ displaystyle { mathfrak {G}} ^ {2} = {k ^ {2} } _ {k = 1} ^ { infty}}$ je aditivní základ stupně 4. (O otevřeném problému pro aditivní báze viz Erdős – Turán dohad o aditivních základech.)

Mannova věta

Historicky výše uvedené věty byly ukazatele na následující výsledek, kdysi známý jako ${ displaystyle alpha + beta}$ hypotéza. To bylo používáno Edmund Landau a byl nakonec prokázán Henry Mann v roce 1942.

Teorém. (Mann 1942 ) Nechte ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ být podmnožinami ${ displaystyle mathbb {N}}$. V případě že ${ displaystyle A oplus B neq mathbb {N}}$, stále máme

${ displaystyle sigma (A oplus B) geq sigma A + sigma B.}$

Analog této věty pro nižší asymptotickou hustotu získal Kneser.^[4] K pozdějšímu datu, E. Artin a P. Scherk zjednodušili důkaz Mannovy věty.^[5]

Waringův problém

Nechat ${ displaystyle k}$ a ${ displaystyle N}$ být přirozená čísla. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {G}} ^ {k} = {i ^ {k} } _ {i = 1} ^ { infty}}$. Definovat ${ displaystyle r_ {N} ^ {k} (n)}$ být počet nezáporných integrálních řešení rovnice

${ displaystyle x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + cdots + x_ {N} ^ {k} = n}$

a ${ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n)}$ být počet nezáporných integrálních řešení nerovnosti

${ displaystyle 0 leq x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + cdots + x_ {N} ^ {k} leq n,}$

v proměnných ${ displaystyle x_ {i}}$, resp. Tím pádem ${ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n) = součet _ {i = 0} ^ {n} r_ {N} ^ {k} (i)}$. My máme

• ${ displaystyle r_ {N} ^ {k} (n)> 0 leftrightarrow n in N { mathfrak {G}} ^ {k},}$
• ${ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n) geq left ({ frac {n} {N}} right) ^ { frac {N} {k}}.}$

Objem ${ displaystyle N}$-dimenzionální tělo definované ${ displaystyle 0 leq x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + cdots + x_ {N} ^ {k} leq n}$, je omezen objemem hyperkrychle velikosti ${ displaystyle n ^ {1 / k}}$, proto ${ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n) = součet _ {i = 0} ^ {n} r_ {N} ^ {k} (i) leq n ^ {N / k}}$. Nejtěžší částí je ukázat, že tato vazba stále funguje v průměru, tj.

Lemma. (Linnik) Pro všechny ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ tady existuje ${ displaystyle N in mathbb {N}}$ a konstanta ${ displaystyle c = c (k)}$, záleží jen na ${ displaystyle k}$, tak, že pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {N}}$,

${ displaystyle r_ {N} ^ {k} (m)$

pro všechny ${ displaystyle 0 leq m leq n.}$

S tímto po ruce lze elegantně dokázat následující větu.

Teorém. Pro všechny ${ displaystyle k}$ tady existuje ${ displaystyle N}$ pro který ${ displaystyle sigma (N { mathfrak {G}} ^ {k})> 0}$.

Vytvořili jsme tedy obecné řešení Waringova problému:

Důsledek. (Hilbert 1909 ) Pro všechny ${ displaystyle k}$ tady existuje ${ displaystyle N}$, záleží jen na ${ displaystyle k}$, takže každé kladné celé číslo ${ displaystyle n}$ lze vyjádřit jako součet maximálně ${ displaystyle N}$ mnoho ${ displaystyle k}$-té pravomoci.

Schnirelmannova konstanta

V roce 1930 Schnirelmann použil tyto myšlenky ve spojení s Brun síto dokázat Schnirelmannova věta,^[1][2] že nějaké přirozené číslo větší než 1 lze zapsat jako součet ne více než C prvočísla, kde C je efektivně vypočítatelná konstanta:^[6] Schnirelmann získán C < 800000.^[7] Schnirelmannova konstanta je nejnižší číslo C s touto vlastností.^[6]

Olivier Ramaré ukázal v (Ramaré 1995 ) že Schnirelmannova konstanta je maximálně 7,^[6] zlepšení dřívější horní hranice 19 získaných z Hans Riesel a R. C. Vaughan.

Schnirelmannova konstanta je alespoň 3; Goldbachova domněnka znamená, že se jedná o skutečnou hodnotu konstanty.^[6]

V roce 2013, Harald Helfgott dokázala Goldbachova slabá domněnka pro všechna lichá čísla. Schnirelmannova konstanta je tedy maximálně 4. ^{[8][9][10][11]}

Základní součásti

Khintchin dokázal, že posloupnost čtverců, i když s nulovou Schnirelmannovou hustotou, když se přidá k posloupnosti Schnirelmannovy hustoty mezi 0 a 1, zvyšuje hustotu:

${ displaystyle sigma (A + { mathfrak {G}} ^ {2})> sigma (A) { text {pro}} 0 < sigma (A) <1.}$

Toto bylo brzy zjednodušeno a rozšířeno o Erdős, který ukázal, že pokud A je libovolná sekvence s Schnirelmannovou hustotou α a B je aditivní základ objednávky k pak

${ displaystyle sigma (A + B) geq alpha + { frac { alpha (1- alpha)} {2k}} ,,}$^[12]

a to Plünnecke vylepšil na

${ displaystyle sigma (A + B) geq alpha ^ {1 - { frac {1} {k}}} .}$^[13]

Byly pojmenovány sekvence s touto vlastností, zvyšující hustotu menší než jedna přidáním základní součásti Khintchin. Linnik ukázal, že základní složkou nemusí být aditivní základ^[14] protože sestrojil základní součást, která má X^{o (1)} prvky menší nežX. Přesněji řečeno, sekvence má

${ displaystyle e ^ {( log x) ^ {c}}}$

prvky menší než X pro některé C <1. Toto bylo vylepšeno o E. Wirsing na

${ displaystyle e ^ {{ sqrt { log x}} log log x}.}$

Na chvíli zůstal otevřeným problémem, kolik prvků musí mít základní součást. Konečně, Ruzsa určeno, že základní komponenta má alespoň (logX)^C prvky až X, pro některé C > 1 a pro všechny C > 1 existuje podstatná součást, která má maximálně (logX)^C prvky ažX.^[15]

Reference

• Hilbert, David (1909). „Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl nter Potenzen (Waringschesův problém) ". Mathematische Annalen. 67 (3): 281–300. doi:10.1007 / BF01450405. ISSN  0025-5831. PAN  1511530.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Schnirelmann, L.G. (1930). Msgstr "O doplňkových vlastnostech čísel". Ann. Inst. Polytechn. Novočerkassk (v Rusku). 14: 3–28. JFM  56.0892.02.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Schnirelmann, L.G. (1933). „Über additive Eigenschaften von Zahlen“. Matematika. Ann. (v němčině). 107: 649–690. doi:10.1007 / BF01448914. Zbl  0006.10402.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Mann, Henry B. (1942). "Důkaz základní věty o hustotě součtů množin kladných celých čísel". Annals of Mathematics. Druhá série. 43 (3): 523–527. doi:10.2307/1968807. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968807. PAN  0006748. Zbl  0061.07406.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gelfond, A.O.; Linnik, Yu. PROTI. (1966). L.J.Mordell (vyd.). Základní metody v teorii analytických čísel. George Allen & Unwin.
• Mann, Henry B. (1976). Věty o sčítání: Věty o sčítání teorie skupin a teorie čísel (Opravený dotisk 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Nakladatelská společnost Robert E. Krieger. ISBN  978-0-88275-418-5. PAN  0424744. Externí odkaz v | vydavatel = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Nathanson, Melvyn B. (1990). Msgstr "Nejlepší možné výsledky v hustotě součtů". v Berndt, Bruce C.; Diamond, Harold G .; Halberstam, Heini; et al. (eds.). Teorie analytických čísel. Sborník z konference na počest Paula T. Batemana konaného ve dnech 25. – 27. Dubna 1989 na University of Illinois, Urbana, IL (USA). Pokrok v matematice. 85. Boston: Birkhäuser. 395–403. ISBN  978-0-8176-3481-0. Zbl  0722.11007.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Ramaré, O. (1995). "Na Šnirel'manově konstantě". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Série IV. 22 (4): 645–706. Zbl  0851.11057. Citováno 2011-03-28.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teorie aditivních čísel: klasické základy. Postgraduální texty z matematiky. 164. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94656-6. Zbl  0859.11002.
• Nathanson, Melvyn B. (2000). Základní metody v teorii čísel. Postgraduální texty z matematiky. 195. Springer-Verlag. str. 359–367. ISBN  978-0-387-98912-9. Zbl  0953.11002.
• Khinchin, A. Ya. (1998). Tři perly teorie čísel. Mineola, NY: Dover. ISBN  978-0-486-40026-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz) Má důkaz o Mannově větě a Schnirelmannově hustotě důkaz Waringova domněnky.
• Artin, Emil; Scherk, P. (1943). "Na součty dvou celých čísel". Ann. matematiky. 44: 138–142. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
• Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram (2005). Úvod do sítových metod a jejich aplikací. Studentské texty London Mathematical Society. 66. Cambridge University Press. str. 100–105. ISBN  978-0-521-61275-3.
• Ruzsa, Imre Z. (2009). "Sumersety a struktura". V Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z. (eds.). Kombinatorická teorie čísel a aditivní teorie grup. Pokročilé kurzy matematiky CRM Barcelona. Elsholtz, C .; Freiman, G .; Hamidoune, Y. O .; Hegyvári, N .; Károlyi, G .; Nathanson, M .; Solymosi, J.; Stanchescu, Y. S předmluvou Javiera Cilleruela, Marca Noye a Oriola Serry (koordinátoři DocCourse). Basilej: Birkhäuser. str.87 –210. ISBN  978-3-7643-8961-1. Zbl  1221.11026.CS1 maint: ref = harv (odkaz)