Brun síto - Brun sieve

V oblasti teorie čísel, Brun síto (také zvaný Brunovo čisté síto) je technika pro odhad velikosti "prosátých sad" z kladná celá čísla které splňují soubor podmínek, které jsou vyjádřeny shody. Byl vyvinut společností Viggo Brun v roce 1915.

Popis

Ve smyslu teorie sít Brunovo síto je kombinatorický typ; to znamená, že pochází z pečlivého používání zásada začlenění - vyloučení.

Nechat A být množina kladných celých čísel ≤ X a nechte P být soubor prvočísel. Pro každého p v P, nechť A_p označit sadu prvků A dělitelné p a rozšířit to nechat A_d křižovatka A_p pro p dělení d, když d je produktem různých prvočísel z P. Dále nechte A₁ označit A sám. Nechat z být kladné reálné číslo a P(z) označte prvočísla v P ≤ z. Cílem síta je odhadnout

${displaystyle S (A, P, z) = leftvert Asetminus igcup _ {pin P (z)} A_ {p} ightvert.}$

Předpokládáme, že |A_d | lze odhadnout do

${displaystyle leftvert A_ {d} ightvert = {frac {w (d)} {d}} X + R_ {d}}$

kde w je multiplikativní funkce a X   =   |A|. Nechat

${displaystyle W (z) = prod _ {pin P (z)} vlevo (1- {frac {w (p)} {p}} vpravo).}$

Brunovo čisté síto

Tato formulace je z Cojocaru & Murty Věta 6.1.2. S výše uvedeným zápisem předpokládejme

• |R_d | ≤ w(d) pro všechny čtverce zdarma d složený z prvočísel v P ;
• w(p) < C pro všechny p v P ;
• ${displaystyle sum _ {pin P_ {z}} {frac {w (p)} {p}}$

kde C, D, E jsou konstanty.

Pak

${displaystyle S (A, P, z) = Xcdot W (z) cdot left ({1 + Oleft ((log z) ^ {- blog b} ight)} ight) + Oleft (z ^ {blog log z} ight) )}$

kde b je jakékoli kladné celé číslo. Zejména pokud log z < C log X / log log X za vhodně malou C, pak

${displaystyle S (A, P, z) = Xcdot W (z) (1 + o (1)).,}$

Aplikace

• Brunova věta: součet převrácených hodnot z dvojčata připraví konverguje;
• Schnirelmannova věta: každé sudé číslo je součtem maximálně C připraví (kde C lze považovat za 6);
• Existuje nekonečně mnoho párů celých čísel lišících se o 2, kde každý z členů dvojice je produktem maximálně 9 prvočísel;
• Každé sudé číslo je součtem dvou čísel, z nichž každé je součinem nejvýše 9 prvočísel.

Poslední dva výsledky byly nahrazeny Chenova věta a druhý od Goldbachova slabá domněnka (C = 3).

Reference

• Viggo Brun (1915). „Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare“. Archiv pro Mathematik og Naturvidenskab. B34 (8).
• Viggo Brun (1919). "La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est Convergente ou finie ". Bulletin des Sciences Mathématiques. 43: 100–104, 124–128.
• Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty (2005). Úvod do sítových metod a jejich aplikací. Studentské texty London Mathematical Society. 66. Cambridge University Press. str. 80–112. ISBN  0-521-61275-6.
• George Greaves (2001). Síta v teorii čísel. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43. Springer-Verlag. 71–101. ISBN  3-540-41647-1.
• Heini Halberstam; ON. Richert (1974). Sítové metody. Akademický tisk. ISBN  0-12-318250-6.
• Christopher Hooley (1976). Aplikace sítových metod v teorii čísel. Cambridge University Press. ISBN  0-521-20915-3..