Konformní geometrická algebra - Conformal geometric algebra

Konformní geometrická algebra (CGA) je geometrická algebra zkonstruovaný nad výsledným prostorem mapy z bodů v n-dimenzionální základní prostor ℝ^p,q vynulovat vektory v ℝ^p+1,q+1. To umožňuje zobrazení operací v základním prostoru, včetně odrazů, rotací a překladů pomocí versors geometrické algebry; a bylo zjištěno, že body, úsečky, roviny, kružnice a koule získávají obzvláště přirozená a výpočetně vhodná zobrazení.

Účinek mapování je generalizovaný (tj. Včetně nulového zakřivení) k- koule v mapě základního prostoru na (k + 2)-čepele, a tak, aby účinek překladu (nebo žádný konformní mapování ) základního prostoru odpovídá rotaci v prostoru vyšších dimenzí. V algebře tohoto prostoru, na základě geometrický součin vektorů, takové transformace odpovídají charakteristickým sendvičovým operacím algebry, podobně jako použití čtveřice pro prostorovou rotaci ve 3D, které se kombinují velmi efektivně. Důsledkem rotorů představujících transformace je to, že reprezentace koulí, rovin, kruhů a dalších geometrických objektů a rovnic, které je spojují, se transformují kovariantně. Geometrický objekt (a k-sphere) lze syntetizovat jako klínový produkt k + 2 lineárně nezávislé vektory představující body na objektu; naopak lze objekt rozložit jako opakovaný klínový produkt vektorů představujících k + 2 odlišné body na jeho povrchu. Některé křižovatkové operace také získávají uklizený algebraický tvar: například pro euklidovský základní prostor ℝ³, použití klínový produkt k duálu tetravektorů představujících dvě koule vytváří duál trivektorové reprezentace jejich průsečíku.

Jelikož se tato algebraická struktura nabízí přímo k efektivnímu výpočtu, usnadňuje zkoumání klasických metod projektivní geometrie a inverzní geometrie v konkrétním a snadno manipulovatelném prostředí. Používá se také jako efektivní struktura k reprezentaci a usnadnění výpočtů v teorie šroubů. CGA se uplatnilo zejména v souvislosti s projektivním mapováním každodenního euklidovského prostoru ℝ³ do pětidimenzionálního vektorového prostoru ℝ^4,1, který byl zkoumán pro aplikace v robotice a počítačovém vidění. Lze jej použít obecně na všechny pseudoeuklidovský prostor a mapování Minkowského prostor ℝ^3,1 do vesmíru ℝ^4,2 je zkoumán pro aplikace v relativistické fyzice.

Tato část může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Ne důvod vyčištění bylo upřesněno. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci jestli můžeš. (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Konstrukce CGA

Zápis a terminologie

V tomto článku se zaměřujeme na algebru ${ displaystyle { mathcal {G}} (4,1)}$ protože právě tato algebra byla v průběhu času předmětem největší pozornosti; ostatní případy jsou stručně popsány v samostatné části. Prostor obsahující objekty, které se modelují, se zde označuje jako základní prostora algebraický prostor použitý k modelování těchto objektů jako zastoupení nebo konformní prostor. A homogenní podprostor odkazuje na lineární podprostor algebraického prostoru.

Výrazy pro objekty: směřovat, čára, kruh, koule, kvazi-koule atd. se rozumí buď geometrický objekt v základním prostoru, nebo homogenní podprostor reprezentačního prostoru, který tento objekt představuje, přičemž tento druhý je obecně zamýšlen, pokud není uvedeno jinak.^[A] Algebraicky bude použit jakýkoli nenulový nulový prvek homogenního podprostoru, přičemž jeden prvek bude označován jako normalizováno podle nějakého kritéria.

Odvážná malá latinská písmena se používají k reprezentaci pozičních vektorů od počátku do bodu v základním prostoru. Kurzíva se používá pro ostatní prvky reprezentačního prostoru.

Základní a reprezentační prostory

Základní prostor ℝ³ je reprezentován rozšířením základny pro posuny od zvoleného počátku a přidáním dvou vektorů základny E₋ a E₊ kolmé k základnímu prostoru ak sobě navzájem, s E₋² = −1 a E₊² = +1, vytvoření reprezentačního prostoru ${ displaystyle { mathcal {G}} (4,1)}$.

Je vhodné použít dva nulové vektory n_Ó a n_∞ jako základní vektory místo E₊ a E₋, kde n_Ó = (E₋ − E₊)/2, a n_∞ = E₋ + E₊. Může být ověřeno, kde X je v základním prostoru, že:

${ displaystyle { begin {array} {lllll} {n _ { text {o}}} ^ {2} & = 0 qquad n _ { text {o}} cdot n _ { infty} & = - 1 qquad & n _ { text {o}} cdot mathbf {x} & = 0 {n _ { infty}} ^ {2} & = 0 qquad n _ { text {o}} klín n_ { infty} & = e _ {-} e _ {+} qquad & n _ { infty} cdot mathbf {x} & = 0 end {pole}}}$

Tyto vlastnosti vedou k následujícím vzorcům pro základní vektorové koeficienty obecného vektoru r v reprezentačním prostoru pro základnu s prvky E_i kolmý na každý další základní prvek:

Koeficient n_Ó pro r je −n_∞ ⋅ r

Koeficient n_∞ pro r je −n_Ó ⋅ r

Koeficient E_i pro r je E_i⁻¹ ⋅ r.

Mapování mezi základním prostorem a reprezentačním prostorem

Mapování z vektoru v základním prostoru (od počátku do bodu v reprezentovaném afinním prostoru) je dáno vzorcem:^[b]

${ displaystyle F: mathbf {x} mapsto n _ { text {o}} + mathbf {x} + { tfrac {1} {2}} mathbf {x} ^ {2} n _ { infty }}$

Body a další objekty, které se liší pouze nenulovým skalárním faktorem, se mapují na stejný objekt v základním prostoru. Když je požadována normalizace, jako pro generování jednoduché reverzní mapy bodu z reprezentačního prostoru do základního prostoru nebo stanovení vzdáleností, podmínka F(X) ⋅ n_∞ = −1 může být použit.

Změna normalizace: mapování nulového kuželu z nadroviny r ⋅ (n_∞ − n_Ó) = 1 do nadroviny r ⋅ n_∞ = −1.

Dopředné mapování je ekvivalentní:

• první konformní projekce X z E₁₂₃ na jednotku 3-koule v prostoru E₊ ∧ E₁₂₃ (v 5-D je to v podprostoru r ⋅ (−n_Ó − 1/2n_∞) = 0);
• pak to zvedněte do projektivního prostoru tím, že navazujete E_– = 1a identifikace všech bodů na stejném paprsku od počátku (v 5-D je to v podprostoru) r ⋅ (−n_Ó − 1/2n_∞) = 1);
• potom změňte normalizaci, takže rovina pro homogenní projekci je dána vztahem n_Ó souřadnice s hodnotou 1, tj. r ⋅ n_∞ = −1.

Inverzní mapování

Inverzní mapování pro X na nulovém kuželu je dán (Perwass rovnice 4,37)

${ displaystyle X mapsto { mathcal {P}} _ {n _ { infty} klín n _ { text {o}}} ^ { perp} left ({ frac {X} {- X cdot n _ { infty}}} vpravo)}$

Toto nejprve dává stereografickou projekci ze světelného kužele do roviny r ⋅ n_∞ = −1, a poté odhodí n_Ó a n_∞ části, takže celkovým výsledkem je zmapování všech ekvivalentních bodů αX = α(n_Ó + X + 1/2X²n_∞) na X.

Počátek a bod v nekonečnu

Bod X = 0 v ℝ^p,q mapy do n_Ó v ℝ^p+1,q+1, tak n_Ó je identifikován jako (reprezentace) vektor bodu v počátku.

Vektor v ℝ^p+1,q+1 s nenulovou hodnotou n_∞ koeficient, ale nula n_Ó koeficient, musí být (s ohledem na inverzní mapu) obrazem nekonečný vektor v ℝ^p,q. Směr n_∞ proto představuje (konformní) bod v nekonečnu. To motivuje dolní indexy _Ó a _∞ pro identifikaci nulových základních vektorů.

Volba počátku je libovolná: lze zvolit jakýkoli jiný bod, protože reprezentace je afinní prostor. Počátek představuje pouze referenční bod a je algebraicky ekvivalentní jakémukoli jinému bodu. Stejně jako u jiných překladů odpovídá změna počátku rotaci v reprezentačním prostoru.

Geometrické objekty

Základ

Dohromady s ${ displaystyle I_ {5} = e_ {123} E}$ a ${ displaystyle 1}$, jedná se o 32 základních lopatek algebry. Počátek plochého bodu je psán jako vnější součin, protože geometrický součin je smíšeného stupně. (${ displaystyle E = e _ {+} e _ {-}}$).

Základní čepele z ${ displaystyle { mathcal {G}} (4,1)}$

Elementy	Geometrický koncept
Bod a duální koule
${ displaystyle e_ {i}, n_ {0}, n _ { infty}}$	Bez ${ displaystyle n_ {0}}$ je Dual Plane
Point Pair
${ displaystyle e_ {ij}}$	Bivektor
${ displaystyle e_ {i} n_ {0}}$	Tečný vektor
${ displaystyle e_ {i} n _ { infty}}$	Směrový vektor (plus Bivector je Dual Line)
${ displaystyle E = n_ {o} klín n _ { infty}}$	Počátek plochého bodu *
Kruh
${ displaystyle e_ {1} e_ {2} e_ {3} = I_ {3}}$	3D pseudoskalář
${ displaystyle e_ {ij} n_ {0}}$	Tangensový bivektor
${ displaystyle e_ {ij} n _ { infty}}$	Směrový bivektor (plus ${ displaystyle e_ {i} E}$ je linka)
${ displaystyle e_ {i} E}$
Koule
${ displaystyle e_ {ij} E}$
${ displaystyle e_ {i} n_ {0}}$	Bez ${ displaystyle e_ {i} n_ {0}}$je letadlo
${ displaystyle e_ {i} n _ { infty}}$

Jako řešení dvojice rovnic

Vzhledem k nenulové hodnotě čepel A reprezentujícího prostoru, sada vektorů, které jsou řešením dvojice homogenních rovnic formy^[3]

${ displaystyle X ^ {2} = 0}$

${ displaystyle X klín A = 0}$

je spojení homogenních 1-d podprostorů nulových vektorů, a je tedy reprezentací množiny bodů v základním prostoru. To vede k výběru čepele A jako užitečný způsob, jak reprezentovat určitou třídu geometrických objektů. Specifické případy čepele A (nezávisle na počtu rozměrů prostoru), když je základním prostorem euklidovský prostor, jsou:

• skalární: prázdná množina
• vektor: jediný bod
• bivektor: pár bodů
• trivector: zobecněný kruh
• 4-vektor: zobecněná koule
• atd.

Každý z nich se může rozdělit do tří případů podle toho, zda A² je kladné, nulové nebo záporné, odpovídá (v některých případech v obráceném pořadí) objektu, jak je uveden, zdegenerovaný případ jediného bodu nebo žádné body (kde nenulová řešení X ∧ A vyloučit nulové vektory).

Uvedené geometrické objekty (zobecněné n- koule ) stát se kvazi-koule v obecnějším případě, že základní prostor je pseudoeuklidovský.^[4]

Byt objekty lze identifikovat podle bodu v nekonečnu, který je součástí řešení. Pokud tedy n_∞ ∧ A = 0, objekt bude čára, rovina atd. pro čepel A příslušně stupně 3, 4 atd.

Odvozeno od bodů objektu

Čepel A představující jednu z této třídy objektu lze nalézt jako vnější produkt lineárně nezávislých vektorů představujících body na objektu. V základním prostoru se tato lineární nezávislost projevuje jako každý bod ležící mimo objekt definovaný ostatními body. Například čtvrtý bod ležící na zobecněné kružnici definované třemi odlišnými body nelze použít jako čtvrtý bod k definování koule.

šance

Body v E₁₂₃ mapa na nulový kužel - nulový parabola pokud jsme nastavili r . n_∞ = -1.

Můžeme uvažovat o lokusu bodů v E₁₂₃ Svatý. v konformním prostoru G(X). A = 0, pro různé typy geometrických objektů A.

Začneme tím, že to pozorujeme ${ displaystyle g ( mathbf {a}) .g ( mathbf {b}) = - { frac {1} {2}} | mathbf {a} - mathbf {b} | ^ {2 }}$

porovnat:

• X. a = 0 => x perp a; x. (a∧b) = 0 => x perp a a x perp b
• x∧a = 0 => x rovnoběžně s a; x∧ (a∧b) = 0 => x rovnoběžně s a nebo do b (nebo do nějaké lineární kombinace)

reprezentace vnitřního produktu a vnějšího produktu souvisí s dualizací

x∧A = 0 <=> x. A * = 0 (šek—Funguje, pokud x je 1-dim, A je n-1 dim)

g (x). A = 0

• A směřovat: místo X v R³ je směřovat pokud A v R^4,1 je vektor na nulovém kuželu.

(Pozn. Protože se jedná o homogenní projektivní prostor, vektory libovolné délky na paprsku skrz počátek jsou ekvivalentní, takže g (x). A = 0 je ekvivalentní g (x) .g (a) = 0).

*** Varování: zjevně špatná codimension - přejděte do sféry jako obecný případ, poté omezte na sféru o velikosti nula. Je duál rovnice ovlivněn tím, že je na nulovém kuželu?

• A koule: místo X je koule pokud A = S, vektor mimo nulový kužel.

Li

${ displaystyle mathbf {S} = g ( mathbf {a}) - { frac {1} {2}} rho ^ {2} mathbf {e} _ { infty}}$

pak S.X = 0 => ${ displaystyle - { frac {1} {2}} ( mathbf {a} - mathbf {x}) ^ {2} + { frac {1} {2}} rho ^ {2} = 0 }$

to jsou body odpovídající kouli

udělat obrázek pro zobrazení hyperbolické ortogonality -> pro vektor S mimo nulový kužel, které směry jsou hyperbolicky ortogonální? (srov Lorentzův transformační pix)

v 2 + 1 D, pokud S je (1, a, b), (pomocí souřadnic e-, {e +, e_i}), body hyperbolicky ortogonální k S jsou ty euklidovsky ortogonální k (-1, a, b) - tj. rovině; nebo v n dimenze, hyperplán přes původ. Tím by se prořízla další rovina, která by nešla počátkem v linii (hyperplocha v n-2 povrch), a pak kužel ve dvou bodech (resp. Nějakém n-3 kuželovitý povrch). Pravděpodobně to bude vypadat jako nějaký kuželovitý tvar. Toto je povrch, který je obrazem koule pod ním G.

• A letadlo: místo X je letadlo -li A = P, vektor s nulou n_Ó součástka. V homogenním projektivním prostoru takový vektor P představuje vektor v rovině n_Ó= 1, které by bylo nekonečně daleko od počátku (tj. Nekonečně daleko mimo nulový kužel), takže g (x). P = 0 odpovídá X na kouli nekonečného poloměru, rovině.

Zejména:

• ${ displaystyle mathbf {P} = { hat { mathbf {a}}} + alpha mathbf {e} _ { infty}}$ odpovídá X v letadle s normální ${ displaystyle { hat { mathbf {a}}}}$ ortogonální vzdálenost α od počátku.
• ${ displaystyle mathbf {P} = g ( mathbf {a}) -g ( mathbf {b})}$ odpovídá rovině na půli cesty mezi A a b, s normální A - b

• kruhy
• tečná roviny
• řádky
• řádky v nekonečnu
• bodové páry

Transformace

• odrazy

Lze ověřit, že tváření P G(X) P dává nový směr na nulovém kuželu, g (X' ), kde X' odpovídá odrazu v rovině bodů p v R³ které uspokojí g (p) . P = 0.

G(X). A = 0 => P G(X). A P = 0 => P G(X) P . P A P (a podobně pro klínový produkt), takže účinek aplikace P sendvičová móda na jakékoli veličiny A ve výše uvedené části je obdobná, aby odrážela odpovídající lokus bodů X, takže odpovídající kružnice, koule, úsečky a roviny odpovídající konkrétním typům A se odrážejí přesně stejným způsobem jako použití P do g (X) odráží bod X.

Tuto operaci reflexe lze použít k vytvoření obecných překladů a rotací:

• překlady

Odraz ve dvou rovnoběžných rovinách poskytuje překlad,

${ displaystyle g ( mathbf {x} ^ { prime}) = mathbf {P} _ { beta} mathbf {P} _ { alpha} ; g ( mathbf {x}) ; mathbf {P} _ { alpha} mathbf {P} _ { beta}}$

Li ${ displaystyle mathbf {P} _ { alpha} = { hat { mathbf {a}}} + alpha mathbf {e} _ { infty}}$ a ${ displaystyle mathbf {P} _ { beta} = { hat { mathbf {a}}} + beta mathbf {e} _ { infty}}$ pak ${ displaystyle mathbf {x} ^ { prime} = mathbf {x} +2 ( beta - alpha) { hat { mathbf {a}}}}$

• rotace

${ displaystyle g ( mathbf {x} ^ { prime}) = { hat { mathbf {b}}} { hat { mathbf {a}}} ; g ( mathbf {x}) ; { hat { mathbf {a}}} { hat { mathbf {b}}}}$ odpovídá X' který se otáčí kolem počátku o úhel 2 θ, kde θ je úhel mezi A a b - stejný účinek, jaký by měl tento rotor, kdyby byl použit přímo na X.

• obecné rotace

rotace kolem obecného bodu lze dosáhnout nejprve přemístěním bodu do počátku, poté otočením kolem počátku a poté přemístěním bodu zpět do původní polohy, tj. vložením operátorem ${ displaystyle mathbf {TR { tilde {T}}}}$ tak

${ displaystyle g ({ mathcal {G}} x) = mathbf {TR { tilde {T}}} ; g ( mathbf {x}) ; mathbf {T { tilde {R}} { tilde {T}}}}$

• šrouby

účinek a šroub nebo motor, (rotace kolem obecného bodu, následovaná translací rovnoběžnou s osou rotace) lze dosáhnout sendvičováním g (X) provozovatelem ${ displaystyle mathbf {M} = mathbf {T_ {2} T_ {1} R { tilde {T_ {1}}}}}$.

M lze také parametrizovat ${ displaystyle mathbf {M} = mathbf {T ^ { prime} R ^ { prime}}}$ (Chaslesova věta )

• inverze

an inverze je odrazem v sféře - různé operace, kterých lze dosáhnout pomocí takových inverzí, jsou diskutovány na inverzní geometrie. Zejména kombinace inverze spolu s Euklidovské transformace překlad a rotace stačí k vyjádření žádný konformní mapování - tj. Jakékoli mapování, které všeobecně zachovává úhly. (Liouvilleova věta ).

• dilatace

dvě inverze se stejným středem produkují a dilatace.

Zobecnění

Dějiny

Konference a časopisy

Kolem Cliffordu a Geometric Algebras existuje živá a interdisciplinární komunita s širokou škálou aplikací. Mezi hlavní konference týkající se tohoto tématu patří Mezinárodní konference o Cliffordových algebrách a jejich aplikacích v matematické fyzice (ICCA) a Aplikace geometrické algebry v informatice a inženýrství (AGACSE) série. Hlavním výstupem publikace je časopis Springer Pokroky v aplikované Cliffordské algebře.

Poznámky

Reference

Bibliografie