Rokhlinovo lema - Rokhlin lemma

V matematice je Rokhlinovo lemanebo Kakutani – Rokhlinovo lemma je důležitým výsledkem v ergodická teorie. Uvádí, že neperiodické opatření zachování dynamického systému lze rozložit na libovolnou vysokou věž měřitelných množin a zbytek libovolně malé míry. Bylo prokázáno Vladimír Abramovič Rokhlin a nezávisle na Shizuo Kakutani. Lema je hojně využívána v ergodické teorii, například v Ornsteinova teorie a má mnoho zobecnění.

Terminologie

Rokhlinovo lema patří do skupiny matematických výroků jako např Zornovo lemma v teorii množin a Schwarzovo lema ve složité analýze, které se tradičně nazývají lemata navzdory skutečnosti, že jejich role v příslušných oblastech jsou zásadní.

Prohlášení o lemmatu

Lemma: Nechat být invertibilní transformací zachovávající míru na a standardní měrný prostor s . Předpokládáme je (měřitelně) neperiodické, tj. soubor periodické body pro má nulovou míru. Pak pro každé celé číslo a pro každého , existuje měřitelná množina takové, že sady jsou párově disjunktní a takové .

Užitečné posílení lemmatu uvádí, že daný konečný měřitelný oddíl , pak lze zvolit takovým způsobem, že a jsou nezávislé pro všechny .[1]

Topologická verze lemmatu

Nechat být topologický dynamický systém skládající se z kompaktního metrického prostoru a a homeomorfismus . Topologický dynamický systém je nazýván minimální pokud nemá řádné neprázdné uzavřeno -variantní podmnožiny. Říká se tomu (topologicky) neperiodické pokud nemá žádné periodické body ( pro některé a naznačuje ). Topologický dynamický systém se nazývá a faktor z pokud existuje kontinuální surjektivní mapování který je ekvivariant, tj., pro všechny .

Elon Lindenstrauss dokázal následující větu:[2]

Teorém: Nechat být topologický dynamický systém, který má neperiodický minimální faktor. Pak na celé číslo existuje spojitá funkce takové, že soubor splňuje jsou párově disjunktní.

Gutman dokázal následující větu:[3]

Teorém: Nechat být topologický dynamický systém, který má aperiodický faktor s malá hraniční vlastnost. Pak pro každého , existuje spojitá funkce takové, že soubor splňuje , kde označuje kapacita oběžné dráhy.

Další zobecnění

  • Existují verze pro non-invertible opatření zachovávající transformace.[4][5]
  • Donald Ornstein a Benjamin Weiss se ukázal jako verze pro bezplatné akce spočítatelným diskrétním přístupný skupiny.[6]
  • Carl Linderholm se ukázal jako verze pro periodické ne-singulární transformace.[7]

Reference

  1. ^ Shields, Paul (1973). Teorie Bernoulliho se posouvá (PDF). Chicago přednášky z matematiky. Chicago, Illinois a Londýn: The University of Chicago Press. str. Kapitola 3.
  2. ^ Lindenstrauss, Elon (1999-12-01). „Střední dimenze, faktory malé entropie a věta o vložení“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 89 (1): 227–262. doi:10.1007 / BF02698858. ISSN  0073-8301.
  3. ^ Gutman, Yonatan. "Vkládání ℤk akcí do kubických směn a ℤk-symbolická rozšíření." Ergodická teorie a dynamické systémy 31.2 (2011): 383-403.
  4. ^ „Isaac Kornfeld. Některé staré i nové Rokhlinské věže. Contemporary Mathematics% 2C 356% 3A145% 2C 2004. - Google Scholar“. scholar.google.co.il. Citováno 2015-09-21.
  5. ^ Avila, Artur; Candela, Pablo (2016). „Věže pro dojíždění endomorfismů a kombinatorické aplikace“. Annales de l'Institut Fourier (Grenoble). 66 (4): 1529–1544. doi:10,5802 / aif.3042.
  6. ^ Ornstein, Donald S.; Weiss, Benjamin (1987-12-01). "Věty o entropii a izomorfismu pro akce přístupných skupin". Journal d'Analyse Mathématique. 48 (1): 1–141. doi:10.1007 / BF02790325. ISSN  0021-7670.
  7. ^ Ionescu Tulcea, Alexandra (01.01.1965). „O kategorii určitých tříd transformací v ergodické teorii“. Transakce Americké matematické společnosti. 114 (1): 261–279. doi:10.2307/1994001. JSTOR  1994001.

Poznámky

  • Vladimir Rokhlin. „Obecná“ transformace zachovávající opatření se nemíchá. Doklady Akademii Nauk SSSR (N.S.), 60: 349–351, 1948.
  • Shizuo Kakutani. Indukované opatření zachovávající transformace. Proc. Imp. Acad. Tokio, 19: 635–641, 1943.
  • Benjamin Weiss. K práci V. A. Rokhlina v ergodické teorii. Ergodická teorie a dynamické systémy, 9(4):619–627, 1989.
  • Isaac Kornfeld. Některé staré a nové Rokhlinské věže. Současná matematika, 356: 145, 2004.

Viz také

Rokhlinovo lemma by nemělo být zaměňováno Rokhlinova věta.