Rokhlinovo lema - Rokhlin lemma

V matematice je Rokhlinovo lemanebo Kakutani – Rokhlinovo lemma je důležitým výsledkem v ergodická teorie. Uvádí, že neperiodické opatření zachování dynamického systému lze rozložit na libovolnou vysokou věž měřitelných množin a zbytek libovolně malé míry. Bylo prokázáno Vladimír Abramovič Rokhlin a nezávisle na Shizuo Kakutani. Lema je hojně využívána v ergodické teorii, například v Ornsteinova teorie a má mnoho zobecnění.

Terminologie

Rokhlinovo lema patří do skupiny matematických výroků jako např Zornovo lemma v teorii množin a Schwarzovo lema ve složité analýze, které se tradičně nazývají lemata navzdory skutečnosti, že jejich role v příslušných oblastech jsou zásadní.

Prohlášení o lemmatu

Lemma: Nechat ${ displaystyle T dvojtečka X až X}$ být invertibilní transformací zachovávající míru na a standardní měrný prostor ${ displaystyle textstyle (X, Sigma, mu)}$ s ${ displaystyle textstyle mu (X) = 1}$. Předpokládáme ${ displaystyle textstyle T}$ je (měřitelně) neperiodické, tj. soubor periodické body pro ${ displaystyle textstyle T}$ má nulovou míru. Pak pro každé celé číslo ${ displaystyle textstyle n v mathbb {N}}$ a pro každého ${ displaystyle textstyle varepsilon> 0}$, existuje měřitelná množina ${ displaystyle textový styl E}$ takové, že sady ${ displaystyle textstyle E, TE, ldots, T ^ {n-1} E}$ jsou párově disjunktní a takové ${ displaystyle textstyle mu (E pohár TE pohár cdoty pohár T ^ {n-1} E)> 1- varepsilon}$.

Užitečné posílení lemmatu uvádí, že daný konečný měřitelný oddíl ${ displaystyle textový styl P}$, pak ${ displaystyle textový styl E}$ lze zvolit takovým způsobem, že ${ displaystyle textstyle T ^ {i} E}$ a ${ displaystyle textový styl P}$ jsou nezávislé pro všechny ${ displaystyle textstyle 0 leq i$.^[1]

Topologická verze lemmatu

Nechat ${ displaystyle textstyle (X, T)}$ být topologický dynamický systém skládající se z kompaktního metrického prostoru ${ displaystyle textstyle X}$ a a homeomorfismus ${ displaystyle textstyle T: X rightarrow X}$. Topologický dynamický systém ${ displaystyle textstyle (X, T)}$ je nazýván minimální pokud nemá řádné neprázdné uzavřeno ${ displaystyle textstyle T}$-variantní podmnožiny. Říká se tomu (topologicky) neperiodické pokud nemá žádné periodické body (${ displaystyle T ^ {k} x = x}$ pro některé ${ displaystyle x v X}$ a ${ displaystyle k in mathbb {Z}}$ naznačuje ${ displaystyle k = 0}$). Topologický dynamický systém ${ displaystyle textstyle (Y, S)}$ se nazývá a faktor z ${ displaystyle textstyle (X, T)}$ pokud existuje kontinuální surjektivní mapování ${ displaystyle textstyle varphi: X rightarrow Y}$ který je ekvivariant, tj., ${ displaystyle textstyle varphi (Tx) = S varphi (x)}$ pro všechny ${ displaystyle textstyle x v X}$.

Elon Lindenstrauss dokázal následující větu:^[2]

Teorém: Nechat ${ displaystyle textstyle (X, T)}$ být topologický dynamický systém, který má neperiodický minimální faktor. Pak na celé číslo ${ displaystyle textstyle n v mathbb {N}}$ existuje spojitá funkce ${ displaystyle textstyle f dvojtečka X rightarrow mathbb {R}}$ takové, že soubor ${ displaystyle textstyle E = {x v X mid f (Tx) neq f (x) +1 }}$ splňuje ${ displaystyle textstyle E, TE, ldots, T ^ {n-1} E}$ jsou párově disjunktní.

Gutman dokázal následující větu:^[3]

Teorém: Nechat ${ displaystyle (X, T)}$ být topologický dynamický systém, který má aperiodický faktor s malá hraniční vlastnost. Pak pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$, existuje spojitá funkce ${ displaystyle f dvojtečka X pravá šipka mathbb {R}}$ takové, že soubor ${ displaystyle textstyle E = {x v X mid f (Tx) neq f (x) +1 }}$ splňuje ${ displaystyle operatorname {ocap} ( textový styl E) < varepsilon}$, kde ${ displaystyle operatorname {ocap}}$ označuje kapacita oběžné dráhy.

Další zobecnění

• Existují verze pro non-invertible opatření zachovávající transformace.^[4][5]
• Donald Ornstein a Benjamin Weiss se ukázal jako verze pro bezplatné akce spočítatelným diskrétním přístupný skupiny.^[6]
• Carl Linderholm se ukázal jako verze pro periodické ne-singulární transformace.^[7]

Reference

Poznámky

• Vladimir Rokhlin. „Obecná“ transformace zachovávající opatření se nemíchá. Doklady Akademii Nauk SSSR (N.S.), 60: 349–351, 1948.
• Shizuo Kakutani. Indukované opatření zachovávající transformace. Proc. Imp. Acad. Tokio, 19: 635–641, 1943.
• Benjamin Weiss. K práci V. A. Rokhlina v ergodické teorii. Ergodická teorie a dynamické systémy, 9(4):619–627, 1989.
• Isaac Kornfeld. Některé staré a nové Rokhlinské věže. Současná matematika, 356: 145, 2004.

Viz také

Rokhlinovo lemma by nemělo být zaměňováno Rokhlinova věta.