Oběžná kapacita - Orbit capacity

v matematika, kapacita oběžné dráhy podmnožiny a topologický dynamický systém lze heuristicky považovat za „topologickou dynamiku míra pravděpodobnosti “Podmnožiny. Přesněji řečeno, jeho hodnota pro sadu je těsná horní hranice pro normalizovaný počet návštěv orbit v této sadě.

Definice

Topologický dynamický systém se skládá z a kompaktní Hausdorff topologický prostor X a a homeomorfismus ${ displaystyle T: X rightarrow X}$. Nechat ${ displaystyle E podmnožina X}$ být sadou. Lindenstrauss zavedla definici kapacity oběžné dráhy^[1]:

${ displaystyle operatorname {ocap} (E) = lim _ {n rightarrow infty} sup _ {x in X} { frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} chi _ {E} (T ^ {k} x)}$

Tady, ${ displaystyle chi _ {E} (x)}$ je funkce členství pro sadu ${ displaystyle E}$. To je ${ displaystyle chi _ {E} (x) = 1}$ -li ${ displaystyle x v E}$ a jinak je nula.

Vlastnosti

Je zřejmé, že jeden má ${ displaystyle 0 leq operatorname {ocap} (E) leq 1}$. Podle konvence nejsou topologické dynamické systémy vybaveny a opatření; kapacitu oběžné dráhy lze považovat za definici jedné „přirozeným“ způsobem. Není to skutečné měřítko, je to pouze subaditivum:

• Oběžná kapacita je subaditivum:

${ displaystyle operatorname {ocap} (A cup B) leq operatorname {ocap} (A) + operatorname {ocap} (B)}$

• Pro uzavřenou sadu C,

${ displaystyle operatorname {ocap} (C) = sup _ { mu in operatorname {M} _ {T} (X)} mu (C)}$

kde M_T(X) je sbírka T-invariantní míry pravděpodobnosti naX.

Malé sady

Když ${ displaystyle operatorname {ocap} (A) = 0}$, ${ displaystyle A}$ je nazýván malý. Tyto sady se vyskytují v definici malá hraniční vlastnost.

Reference