Malá hraniční vlastnost - Small boundary property

V matematice je malá hraniční vlastnost je jistá vlastnost topologické dynamické systémy. Je to dynamický analog indukční definice z Lebesgue pokrývající rozměr nula.

Definice

Zvažte kategorii topologický dynamický systém (Systém ve zkratce) skládající se z kompaktního metrického prostoru ${ displaystyle X}$ a homeomorfismus ${ displaystyle T: X rightarrow X}$. Sada ${ displaystyle E podmnožina X}$ je nazýván malý pokud to zmizelo kapacita oběžné dráhy, tj., ${ displaystyle operatorname {ocap} (E) = 0}$. To odpovídá: ${ displaystyle forall mu v M_ {T} (X), mu (E) = 0}$ kde ${ displaystyle M_ {T} (X)}$ označuje sbírku ${ displaystyle T}$-invariantní opatření na ${ displaystyle X}$.

Systém ${ displaystyle (X, T)}$ se říká, že má malá hraniční vlastnost (SBP) -li ${ displaystyle X}$ má základ otevřených sad ${ displaystyle {O_ {i} } _ {i = 1} ^ { infty}}$ jehož hranice jsou malé, tj. ${ displaystyle operatorname {ocap} ( částečné O_ {i}) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle i}$.

Může člověk vždy snížit topologickou entropii?

Malé sady byly představeny Michael Shub a Benjamin Weiss při zkoumání otázky „může člověk vždy snížit topologickou entropii?“ Cituji z jejich článku:^[1]

„Pro teoretickou entropii míry je dobře známo a celkem snadno vidět, že pozitivní transformace entropie má vždy faktory menší entropie. Faktor generovaný dvoudílnou přepážkou, přičemž jedna ze sad má velmi malou míru, bude mít vždy malou entropie. Naším cílem je zacházet s analogickou otázkou topologické entropie ... Vyloučíme triviální faktor, kde se redukuje do jednoho bodu. “

Připomeňme, že systém ${ displaystyle (Y, S)}$ se nazývá a faktor z ${ displaystyle (X, T)}$, alternativně ${ displaystyle (X, T)}$ se nazývá rozšíření z ${ displaystyle (Y, S)}$, pokud existuje kontinuální surjektivní mapování ${ displaystyle varphi: X pravá šipka Y}$ který je eqvuivariant, tj. ${ displaystyle varphi (Tx) = S varphi (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x v X}$.

Shub a Weiss se tedy zeptali: Vzhledem k systému ${ displaystyle (X, T)}$ a ${ displaystyle varepsilon> 0}$, lze najít netriviální faktor ${ displaystyle (Y, S)}$ aby ${ displaystyle operatorname {h_ {top}} (Y, S) < varepsilon}$?

Připomeňme, že systém ${ displaystyle (X, T)}$ je nazýván minimální pokud nemá žádné řádné neprázdné uzavřeno ${ displaystyle T}$-variantní podmnožiny. To se nazývá nekonečný -li ${ displaystyle | X | = infty}$.

Lindenstrauss představil SBP a dokázal:^[2]

Teorém: Nechat ${ displaystyle (X, T)}$ být rozšířením nekonečného minimálního systému. Následující jsou ekvivalentní:

1. ${ displaystyle (X, T)}$ má vlastnost malé hranice.
2. ${ displaystyle operatorname {mdim} (X, T) = 0}$, kde ${ displaystyle operatorname {mdim}}$ označuje střední dimenze.
3. Pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$, ${ displaystyle x neq y v X}$, existuje faktor ${ displaystyle varphi _ {xy} :( X, T) rightarrow (Y_ {xy}, S)}$ tak ${ displaystyle varphi _ {xy} (x) neq varphi _ {xy} (y)}$ a ${ displaystyle operatorname {h_ {top}} (Y_ {xy}, S) < varepsilon}$.
4. ${ displaystyle (X, T) = varprojlim (X_ {i}, T_ {i})}$ kde ${ displaystyle {(X_ {i}, T_ {i}) } _ {i = 1} ^ { infty}}$ je inverzní limit systémů s konečnými topologická entropie ${ displaystyle operatorname {h_ {top}} (X_ {i}, T_ {i}) < infty}$ pro všechny ${ displaystyle i}$.

Později byla tato věta zobecněna na kontext několika transformací dojíždění Gutman, Lindenstrauss a Tsukamoto.^[3]

Systémy bez netriviálních faktorů konečné entropie

Nechat ${ displaystyle X = [0,1] ^ { mathbb {Z}}}$ a ${ displaystyle T: X rightarrow X}$ být posunout homeomorfismus

${ displaystyle ( ldots, x _ {- 2}, x _ {- 1}, mathbf {x_ {0}}, x_ {1}, x_ {2}, ldots) rightarrow ( ldots, x _ {- 1}, x_ {0}, mathbf {x_ {1}}, x_ {2}, x_ {3}, ldots).}$

To je Bakerova mapa, formulovaný jako oboustranný posun. To lze ukázat ${ displaystyle (X, T)}$ nemá žádné netriviální konečné entropické faktory.^[2] Lze také najít minimální systémy se stejnou vlastností.^[2]

Reference