Malá hraniční vlastnost - Small boundary property
V matematice je malá hraniční vlastnost je jistá vlastnost topologické dynamické systémy. Je to dynamický analog indukční definice z Lebesgue pokrývající rozměr nula.
Definice
Zvažte kategorii topologický dynamický systém (Systém ve zkratce) skládající se z kompaktního metrického prostoru a homeomorfismus . Sada je nazýván malý pokud to zmizelo kapacita oběžné dráhy, tj., . To odpovídá: kde označuje sbírku -invariantní opatření na .
Systém se říká, že má malá hraniční vlastnost (SBP) -li má základ otevřených sad jehož hranice jsou malé, tj. pro všechny .
Může člověk vždy snížit topologickou entropii?
Malé sady byly představeny Michael Shub a Benjamin Weiss při zkoumání otázky „může člověk vždy snížit topologickou entropii?“ Cituji z jejich článku:[1]
„Pro teoretickou entropii míry je dobře známo a celkem snadno vidět, že pozitivní transformace entropie má vždy faktory menší entropie. Faktor generovaný dvoudílnou přepážkou, přičemž jedna ze sad má velmi malou míru, bude mít vždy malou entropie. Naším cílem je zacházet s analogickou otázkou topologické entropie ... Vyloučíme triviální faktor, kde se redukuje do jednoho bodu. “
Připomeňme, že systém se nazývá a faktor z , alternativně se nazývá rozšíření z , pokud existuje kontinuální surjektivní mapování který je eqvuivariant, tj. pro všechny .
Shub a Weiss se tedy zeptali: Vzhledem k systému a , lze najít netriviální faktor aby ?
Připomeňme, že systém je nazýván minimální pokud nemá žádné řádné neprázdné uzavřeno -variantní podmnožiny. To se nazývá nekonečný -li .
Lindenstrauss představil SBP a dokázal:[2]
Teorém: Nechat být rozšířením nekonečného minimálního systému. Následující jsou ekvivalentní:
- má vlastnost malé hranice.
- , kde označuje střední dimenze.
- Pro každého , , existuje faktor tak a .
- kde je inverzní limit systémů s konečnými topologická entropie pro všechny .
Později byla tato věta zobecněna na kontext několika transformací dojíždění Gutman, Lindenstrauss a Tsukamoto.[3]
Systémy bez netriviálních faktorů konečné entropie
Nechat a být posunout homeomorfismus
To je Bakerova mapa, formulovaný jako oboustranný posun. To lze ukázat nemá žádné netriviální konečné entropické faktory.[2] Lze také najít minimální systémy se stejnou vlastností.[2]
Reference
- ^ Shub, Michael a B. Weiss. „Může člověk vždy snížit topologickou entropii?“ Ergodická teorie a dynamické systémy 11.3 (1991): 535–546.
- ^ A b C Lindenstrauss, Elon (01.12.1999). „Střední dimenze, faktory malé entropie a věta o vložení“. Publikace Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. 89 (1): 227–262. doi:10.1007 / BF02698858. ISSN 0073-8301.
- ^ Gutman, Yonatan, Elon Lindenstrauss a Masaki Tsukamoto. "Střední rozměr -action. “Geometrická a funkční analýza 26.3 (2016): 778–817.