Brauersova věta o formách - Brauers theorem on forms - Wikipedia

Tam také je Brauerova věta o indukovaných postavách.

v matematika, Brauerova věta, pojmenovaný pro Richard Brauer, je výsledkem reprezentovatelnosti 0 formami nad jistým pole v dostatečně mnoha proměnných.^[1]

Prohlášení Brauerovy věty

Nechat K. být pole takové, že pro každé celé číslo r > 0 existuje celé číslo ψ (r) takové, že pro n ≥ ψ (r) každá rovnice

${ displaystyle (*) qquad a_ {1} x_ {1} ^ {r} + cdots + a_ {n} x_ {n} ^ {r} = 0, quad a_ {i} v K, quad i = 1, ldots, n}$

má netriviální (tj. ne všechny X_i jsou rovny 0) řešení v K.Poté dáme homogenní polynomy F₁,...,F_k stupňů r₁,...,r_k respektive s koeficienty v K., pro každou sadu kladných celých čísel r₁,...,r_k a každé nezáporné celé číslo l, existuje číslo ω (r₁,...,r_k,l) takové, že pro n ≥ ω (r₁,...,r_k,l) existuje l-dimenzionální afinní podprostor M z K.ⁿ (považováno za vektorový prostor přes K.) uspokojující

${ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = cdots = f_ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0, quad forall (x_ {1}, ldots, x_ {n}) v M.}$

Aplikace do oblasti p-adic čísel

Pronájem K. být oborem p-adic čísla ve větě je rovnice (*) splněna, protože ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p} ^ {*} / left ( mathbb {Q} _ {p} ^ {*} right) ^ {b}}$, b přirozené číslo, je konečné. Výběr k = 1, jeden získá následující důsledek:

Homogenní rovnice F(X₁,...,X_n) = 0 stupňů r v oblasti p-adic čísel má netriviální řešení, pokud n je dostatečně velká.

Lze ukázat, že pokud n je tedy podle výše uvedeného dostatečně velký n je větší než r². Vskutku, Emil Artin domnělý^[2] že každý homogenní polynom stupně r přes Q_p ve více než r² proměnné představují 0. To samozřejmě platí pro r = 1, a je dobře známo, že domněnka platí pro r = 2 (viz například J.-P. Serre, Kurz aritmetiky, Kapitola IV, Věta 6). Vidět kvazi-algebraické uzavření pro další kontext.

V roce 1950 Demyanov^[3] ověřil domněnku pro r = 3 a p ≠ 3, a v roce 1952 D. J. Lewis^[4] nezávisle prokázal případ r = 3 pro všechna prvočíslap. Ale v roce 1966 Guy Terjanian zkonstruoval homogenní polynom stupně 4 Q₂ v 18 proměnných, které nemají netriviální nulu.^[5] Na druhou stranu Axe-Kochenova věta ukazuje, že pro jakýkoli pevný stupeň platí Artinova domněnka pro všechny, ale konečně pro mnoho Q_p.

Poznámky

• Davenport, Harold (2005). Analytické metody pro diofantické rovnice a diofantické nerovnosti. Cambridge Matematická knihovna. Upravil a připravil T. D. Browning. S předmluvou R. C. Vaughana, D. R. Heath-Browna a D. E. Freemana (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-60583-0. Zbl  1125.11018.

Reference