Kvadrisecant - Quadrisecant

v geometrie, a kvadratikant nebo čtvercová čára a křivka je čára která prochází čtyřmi body křivky. Každá uzlová křivka je trojrozměrná Euklidovský prostor má kvadrisecant. Počet kvadrisecants z algebraická křivka v složitý projektivní prostor lze vypočítat podle vzorce odvozeného od Arthur Cayley. Kvadratikanty z šikmé čáry jsou také spojeny s ovládané povrchy a Schläfli dvojitá šestka konfigurace.
V teorii uzlů
V trojrozměrném Euklidovský prostor, každý netriviální krotit uzel nebo odkaz má kvadrisecant. Původně zavedeno v případě vázaného mnohoúhelníky a hladký uzly podle Erika Pannwitz,[1]tento výsledek byl vhodně rozšířen na uzly obecná pozice a odkazy s nenulovou hodnotou spojovací číslo,[2]a později na všechny netriviální krotké uzly a odkazy.[3]
Pannwitz silněji prokázal, že počet odlišných kvadratikantů je omezen funkcí minimálního počtu hraničních singularit v místně plochém otevřeném disku ohraničeném uzlem.[1][4] Morton & Mond (1982) domníval se, že počet odlišných kvadrantů daného uzlu je vždy alespoň n(n - 1) / 2, kde n je číslo křížení uzlu.[2][4] Od té doby však byly objeveny protipříklady tohoto dohadu.[4]
Dvousložkové odkazy mají kvadrisecanty, ve kterých se body na kvadrisecantu objevují ve střídavém pořadí mezi těmito dvěma složkami,[2] a netriviální uzly mají kvadrisecanty, ve kterých jsou čtyři body, objednal cyklicky tak jako A,b,C,d na uzlu se objeví v pořádku A,C,b,d podél kvadratikantu.[5] Existenci těchto střídavých kvadrantů lze použít k odvození Fary-Milnorova věta, a dolní mez na celkové zakřivení netriviálního uzlu.[5] Kvadratikanty byly také použity k nalezení dolních mezí na délka lana uzlů.[6]
V algebraické geometrii
Arthur Cayley odvodil vzorec pro počet kvadrisecants z algebraická křivka v trojrozměrném složitý projektivní prostor, jako funkce jeho stupeň a rod.[7] Pro křivku stupně d a rod G, počet kvadrantů je[8]
Šikmých čar
V trojrozměrném Euklidovský prostor, každá sada čtyř šikmé čáry v obecná pozice buď má dva kvadrisecanty (v této souvislosti také nazývané) příčné ) nebo žádný. Jakékoli tři ze čtyř řádků určují a dvojnásobně ovládaný povrch, ve kterém jedna ze dvou sad vládnutých linií obsahuje tři dané řádky a druhá vláda se skládá z trisecants k daným řádkům. Pokud čtvrtá z uvedených linií prorazí tuto plochu, její dva průsečíky leží na dvou kvadrisecantech; pokud je disjunktní od povrchu, neexistují žádné kvadratikanty.[9]
Kvadratikanty sad linek hrají důležitou roli při stavbě Schläfli dvojitá šestka, a konfigurace dvanácti linií protínajících se ve 30 přechodech. Pokud pět řádků Ai (pro i = 1,2,3,4,5) jsou uvedeny v trojrozměrném prostoru, takže všech pět je protínáno společnou čarou b6 ale jsou jinak v obecné poloze, pak každá z pěti čtyřnásobných čar Ai má druhý kvadratant bia pět řádků bi takto vytvořené jsou protínány společnou linií A6. Těchto dvanáct úseček a 30 průsečíků Aibj tvoří dvojitou šestku.[10][11]
Reference
- ^ A b Pannwitz, Erika (1933), „Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten“, Mathematische Annalen, 108 (1): 629–672, doi:10.1007 / BF01452857.
- ^ A b C Morton, Hugh R .; Mond, David M. Q. (1982), „Uzavřené křivky bez kvadrantů“, Topologie, 21: 235–243, doi:10.1016/0040-9383(82)90007-6, PAN 0649756.
- ^ Kuperberg, Greg (1994), "Kvadrisecanty uzlů a odkazů", Žurnál teorie uzlů a jeho důsledky, 3: 41–50, arXiv:matematika / 9712205, doi:10.1142 / S021821659400006X, PAN 1265452.
- ^ A b C Jin, Gyo Taek (2005), "Kvadrisecanty uzlů s malým křížením", Fyzikální a numerické modely v teorii uzlů (PDF), Ser. Uzlí všechno, 36, World Sci. Publ., Singapur, s. 507–523, doi:10.1142/9789812703460_0025, PAN 2197955.
- ^ A b Denne, Elizabeth Jane (2004), Střídavé kvadratiky uzlů, Ph.D. teze, University of Illinois v Urbana-Champaign, arXiv:matematika / 0510561, Bibcode:Matematika 2005 ..... 10561D.
- ^ Denne, Elizabeth; Diao, Yuanan; Sullivan, John M. (2006), „Kvadrisecanty dávají nové dolní meze lanovosti uzlu“, Geometrie a topologie, 10: 1–26, arXiv:matematika / 0408026, doi:10.2140 / gt.2006.10.1, PAN 2207788.
- ^ Cayley, Arthur (1863), Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 153, str. 453–483, JSTOR 108806.
- ^ Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (2011), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library, 52, John Wiley & Sons, str. 296, ISBN 9781118030776.
- ^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), New York: Chelsea, str. 164, ISBN 978-0-8284-1087-8.
- ^ Schläfli, Ludwig (1858), Cayley, Arthur (vyd.), „Pokus určit dvacet sedm čar na povrchu třetího řádu a odvodit tyto povrchy druhů, s odkazem na realitu čar na povrchu“, Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 2: 55–65, 110–120.
- ^ Coxeter, H. S. M. (2006), „Absolutní vlastnost čtyř vzájemně tečných kruhů“, Neeuklidovské geometrie, Math. Appl. (N.Y.), 581, New York: Springer, s. 109–114, doi:10.1007/0-387-29555-0_5, PAN 2191243. Coxeter opakuje Schläfliho konstrukci a poskytuje několik odkazů na zjednodušené důkazy o její správnosti.