Polynomiální transformace - Polynomial transformation - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a polynomiální transformace se skládá z výpočtu polynomu, jehož kořeny jsou danou funkcí kořenů polynomu. Polynomiální transformace jako např Tschirnhausovy transformace se často používají ke zjednodušení řešení algebraické rovnice.

Jednoduché příklady

Překlad kořenů

Nechat

${ displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n}}$

být polynomem a

${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}}$

být jeho komplexními kořeny (nemusí být nutně odlišné).

Pro každou konstantu C, polynom, jehož kořeny jsou

${ displaystyle alpha _ {1} + c, ldots, alpha _ {n} + c}$

je

${ displaystyle Q (y) = P (y-c) = a_ {0} (y-c) ^ {n} + a_ {1} (y-c) ^ {n-1} + cdots + a_ {n}.}$

Pokud koeficienty P jsou celá čísla a konstanta ${ displaystyle c = { frac {p} {q}}}$ je racionální číslo, koeficienty Q nemusí být celá čísla, ale polynom Cⁿ Q má celočíselné koeficienty a má stejné kořeny jako Q.

Zvláštní případ je kdy ${ displaystyle c = { frac {a_ {1}} {na_ {0}}}.}$ Výsledný polynom Q nemá žádný termín v y^{n − 1}.

Reciproční kořenů

Nechat

${ displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n}}$

být polynomem. Polynom, jehož kořeny jsou reciproční kořenů P protože kořeny jsou jeho reciproční polynom

${ displaystyle Q (y) = y ^ {n} P left ({ frac {1} {y}} right) = a_ {n} y ^ {n} + a_ {n-1} y ^ { n-1} + cdots + a_ {0}.}$

Škálování kořenů

Nechat

${ displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n}}$

být polynomem a C být nenulová konstanta. Polynom, jehož kořeny jsou součinem C kořenů P je

${ displaystyle Q (y) = c ^ {n} P left ({ frac {y} {c}} right) = a_ {0} y ^ {n} + a_ {1} cy ^ {n- 1} + cdots + a_ {n} c ^ {n}.}$

Faktor Cⁿ se zde objeví, protože pokud C a koeficienty P jsou celá čísla nebo k některým patří integrální doména Totéž platí pro koeficienty Q.

Ve zvláštním případě, kdy ${ displaystyle c = a_ {0}}$, všechny koeficienty Q je několik C, a ${ displaystyle { frac {Q} {c}}}$ je monický polynom, jehož koeficienty patří do libovolné integrální domény obsahující C a koeficienty P. Tato polynomiální transformace se často používá k omezení otázek algebraická čísla na otázky k algebraická celá čísla.

V kombinaci s a překlad kořenů podle ${ displaystyle { frac {a_ {1}} {na_ {0}}}}$, umožňuje snížit jakoukoli otázku týkající se kořenů polynomu, například hledání kořenů k podobné otázce týkající se jednoduššího polynomu, který je monický a nemá výraz stupně n − 1. Příklady viz Kubická funkce § Redukce na depresivní kubický nebo Kvartická funkce § Převod na depresivní kvartiku.

Transformace racionální funkcí

Všechny předchozí příklady jsou polynomiální transformace pomocí a racionální funkce, také zvaný Tschirnhausovy transformace. Nechat

${ displaystyle f (x) = { frac {g (x)} {h (x)}}}$

být racionální funkcí, kde G a h jsou coprime polynomy. Polynomická transformace polynomu P podle F je polynom Q (definovaný až do produkt nenulovou konstantou), jehož kořeny jsou obrázky F kořenů P.

Takovou polynomiální transformaci lze vypočítat jako a výsledný. Ve skutečnosti jsou to kořeny požadovaného polynomu Q jsou přesně komplexní čísla y tak, že existuje komplexní číslo X takový, že jeden má současně (pokud jsou koeficienty P, G a h nejsou reálná nebo komplexní čísla, "komplexní číslo" musí být nahrazen "prvek algebraicky uzavřené pole obsahující koeficienty vstupních polynomů ")

${ displaystyle { begin {zarovnáno} P (x) & = 0 y , h (x) -g (x) & = 0 ,. end {zarovnáno}}}$

Toto je přesně definující vlastnost výslednice

${ displaystyle operatorname {Res} _ {x} (y , h (x) -g (x), P (x)).}$

To je obecně obtížné vypočítat ručně. Jako většina systémy počítačové algebry mají vestavěnou funkci pro výpočet výslednice, je jednoduché ji vypočítat pomocí a počítač.

Vlastnosti

Pokud je polynom P je neredukovatelné, pak buď výsledný polynom Q je neredukovatelný, nebo je to moc neredukovatelného polynomu. Nechat ${ displaystyle alpha}$ být kořenem P a zvažte L, rozšíření pole generováno uživatelem ${ displaystyle alpha}$. První případ to znamená ${ displaystyle f ( alpha)}$ je primitivní prvek z L, který má Q tak jako minimální polynom. V druhém případě ${ displaystyle f ( alpha)}$ patří do podpole o L a jeho minimální polynom je neredukovatelný polynom, který má Q jako moc.

Transformace pro řešení rovnic

Polynomiální transformace byly použity ke zjednodušení polynomiálních rovnic pro řešení, pokud je to možné, radikály. Descartes zavedl transformaci polynomu stupně d což vylučuje termín studia d − 1 překladem kořenů. Takový polynom se nazývá deprimovaný. To již stačí k vyřešení kvadratické odmocniny. V případě kubiky nahrazují Tschirnhausovy transformace proměnnou kvadratickou funkcí, což umožňuje vyloučit dva členy, a lze je tedy použít k eliminaci lineárního členu v depresivní kubice k dosažení řešení kubiky kombinací čtvercových a krychlových kořenů. Bring – Jerrardova transformace, která je v proměnné kvartická, přináší quintic do „principálu“ nebo Přineste-Jerrard normální formu s podmínkami stupně 5,1 a 0.

Reference

• Adamchik, Victor S .; Jeffrey, David J. (2003). „Polynomiální transformace Tschirnhaus, Bring a Jerrard“ (PDF). SIGSAM Bull. 37 (3): 90–94. Zbl  1055.65063. Archivovány od originál (PDF) dne 26.02.2009.