Provoz bodového procesu - Point process operation - Wikipedia

v pravděpodobnost a statistika, a operace bodového procesu nebo transformace bodového procesu je typ matematická operace provedeno na a náhodný objekt známý jako a bodový proces, které se často používají jako matematické modely jevů, které lze reprezentovat jako bodů náhodně umístěný ve vesmíru. Tyto operace mohou být čistě náhodné, deterministický nebo obojí a používají se ke konstrukci nových bodových procesů, které lze poté také použít jako matematické modely. Tyto operace mohou zahrnovat odstranění nebo ředění body z bodového procesu, kombinování nebo překrývající se vícebodové procesy do jednoho bodového procesu nebo transformující se podkladový prostor bodového procesu do jiného prostoru. Operace bodového procesu a výsledné bodové procesy se používají v teorii bodové procesy a související pole, jako je stochastická geometrie a prostorová statistika.^[1]

Jedním bodovým procesem, který při operacích s náhodným bodovým procesem poskytuje zvláště výhodné výsledky, je Proces Poissonova bodu,^[2] Proces Poissonova bodu často vykazuje typ matematického uzavření, takže když je operace bodového procesu aplikována na nějaký proces Poissonova bodu, pak za předpokladu určitých podmínek pro operaci bodového procesu bude výsledný proces často další operací procesu Poissonova bodu, proto se často používá jako matematický model.^[2][1]

Operace bodových procesů byly studovány v matematický limit protože počet použitých operací procesu v náhodném bodě se blíží nekonečnu. To vedlo k věty o konvergenci operací bodových procesů, které mají svůj původ v průkopnické práci Conny Palm ve 40. letech a později Aleksandr Khinchin v padesátých a šedesátých letech minulého století, kteří studovali bodové procesy na reálné linii, v rámci studia příchodu telefonních hovorů a teorie front obecně.^[3] Za předpokladu, že původní bodový proces a operace bodového procesu splňují určité matematické podmínky, pak se při provádění operací bodového procesu na proces často bude výsledný bodový proces chovat stochasticky více jako Poissonův bodový proces, pokud má nenáhodný průměrná míra, což udává průměrný počet bodů bodového procesu umístěného v nějaké oblasti. Jinými slovy, v limitu, protože počet použitých operací se blíží nekonečnu, bude bodový proces konvergovat v distribuci (nebo slabě) do procesu Poissonova bodu nebo, pokud je jeho míra náhodná míra, do Proces Coxova bodu. ^[4] Výsledky konvergence, například Palm-Khinchinova věta pro procesy obnovy se pak také používají k ospravedlnění použití procesu Poissonova bodu jako matematiky různých jevů.

Bodová notace procesu

Bodové procesy jsou matematické objekty, které lze použít k reprezentaci kolekcí bodů náhodně rozptýlených na nějakém podkladu matematický prostor. Mají řadu interpretací, což se odráží v různých typech bodová notace procesu.^[1][5] Například pokud bod ${ displaystyle textstyle x}$ patří nebo je členem bodového procesu označeného ${ displaystyle textstyle {N}}$, pak to lze zapsat jako:^[1]

${ displaystyle textstyle x v {N},}$

a představuje bodový proces jako náhodný soubor. Případně počet bodů ${ displaystyle textstyle {N}}$ nachází se v některých Sada Borel ${ displaystyle textový styl B}$ se často píše jako:^[1][6][7]

${ displaystyle textstyle {N} (B),}$

který odráží a náhodné opatření interpretace pro bodové procesy.

Bodový proces je třeba definovat na základním matematickém prostoru. Tento prostor často je d-dimenzionální euklidovský prostor zde označený ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, ačkoli bodové procesy lze definovat na více abstraktní matematické prostory.^[4]

Příklady operací

K vývoji vhodných modelů s bodovými procesy ve stochastické geometrii, prostorové statistice a souvisejících polích existuje řada užitečných transformací, které lze provést u bodových procesů, včetně: ztenčení, superpozice, mapování (nebo transformace prostoru), shlukování a náhodné posunutí.^[2][1][7][8]

Ředění

The ředění operace vyžaduje použití nějakého předdefinovaného pravidla k odstranění bodů z bodového procesu ${ displaystyle textstyle {N}}$ vytvořit nový bodový proces ${ displaystyle textstyle {N} _ {p}}$. Tato pravidla ztenčování mohou být deterministická, to znamená, že nejsou náhodná, což je případ jednoho z nejjednodušších pravidel známých jako ${ displaystyle textstyle p}$-ředění:^[1] každý bod ${ displaystyle textstyle {N}}$ je nezávisle odstraněn (nebo uchován) s určitou pravděpodobností ${ displaystyle textstyle p}$ (nebo ${ displaystyle textstyle 1-p}$). Toto pravidlo lze zobecnit zavedením nezáporné funkce ${ displaystyle textstyle p (x) leq 1}$ za účelem definování závislé na poloze ${ displaystyle textstyle p (x)}$-tenčení, kde je nyní pravděpodobnost odstranění bodu ${ displaystyle textstyle p (x)}$ a je závislá na tom, kde je bod ${ displaystyle textstyle {N}}$ se nachází na podkladovém prostoru. Další zobecnění má mít pravděpodobnost ztenčení ${ displaystyle textstyle p}$ sám náhodný.

Tyto tři operace jsou všechny typy nezávislých ztenčování, což znamená, že interakce mezi body nemá žádný vliv na místo, kde je bod odstraněn (nebo uchován). Další zobecnění zahrnuje závislé ztenčení, kde jsou body bodového procesu odstraněny (nebo uchovány) v závislosti na jejich umístění ve vztahu k ostatním bodům bodového procesu. Ředění lze použít k vytvoření nových bodových procesů, jako jsou procesy s těžkým jádrem, kde body neexistují (kvůli ztenčení) v určitém poloměru každého bodu v procesu ztenčeného bodu.^[1]

Superpozice

The operace superpozice se používá ke kombinaci dvou nebo více bodových procesů do jednoho základního matematického prostoru nebo stavového prostoru. Pokud existuje spočetná sada nebo sběr bodových procesů ${ displaystyle textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} dots}$ s průměrnými opatřeními ${ displaystyle textstyle Lambda _ {1}, Lambda _ {2}, tečky}$, pak jejich superpozice

${ displaystyle {N} = bigcup _ {i = 1} ^ { infty} {N} _ {i},}$

také tvoří bodový proces. V tomto výrazu je operace superpozice označena a nastavit unii ), což implikuje náhodnou množinovou interpretaci bodových procesů; vidět Bodová notace procesu Pro více informací.

Případ procesu Poissonova bodu

V případě, že každý ${ displaystyle textstyle {N} _ {i}}$ je proces Poissonova bodu, pak výsledný proces ${ displaystyle textstyle {N}}$ je také proces Poissonova bodu se střední intenzitou

${ displaystyle Lambda = součet limity _ {i = 1} ^ { infty} Lambda _ {i}.}$

Shlukování

Bodová operace známá jako shlukování znamená nahradit každý bod ${ displaystyle textstyle x}$ v daném bodovém procesu ${ displaystyle textstyle {N}}$ s shluk bodů ${ displaystyle textstyle N ^ {x}}$. Každý shluk je také bodový proces, ale s konečným počtem bodů. Spojení všech klastrů tvoří a proces klastrového bodu

${ displaystyle {N} _ {c} = bigcup _ {x v {N}} N ^ {x}.}$

Často se předpokládá, že klastry ${ displaystyle textstyle N ^ {x}}$ jsou všechny sady konečných bodů, přičemž každá sada je nezávislé a identicky distribuované. Kromě toho, pokud původní bodový proces ${ displaystyle textstyle {N}}$ má konstantní intenzitu ${ displaystyle textstyle lambda}$, pak intenzita procesu klastrového bodu ${ displaystyle textstyle {N} _ {c}}$ bude

${ displaystyle lambda _ {c} = c lambda,}$

kde konstanta ${ displaystyle textstyle c}$ je průměr z počtu bodů v každém ${ displaystyle textstyle N ^ {x}}$.

Náhodné přemístění a překlad

Matematický model může vyžadovat náhodně se pohybující body bodového procesu z některých míst do jiných míst na podkladu matematický prostor.^[2] Tato operace bodového procesu se označuje jako náhodná přemístění^[2] nebo překlad.^[4] Pokud je každý bod v procesu přemístěn nebo nezávisle přeložen do všech ostatních bodů v procesu, pak operace tvoří nezávislý posunutí nebo překlad.^[4] Obvykle se předpokládá, že všechny náhodné překlady mají společné rozdělení pravděpodobnosti; proto posuny tvoří soubor nezávislé a identicky distribuované náhodné vektory v základním matematickém prostoru.

Aplikování náhodných posunů nebo překladů na bodové procesy lze použít jako matematické modely pro mobilitu objektů například v ekologii^[2] nebo bezdrátové sítě.^[5]

Věta o posunutí

Výsledek známý jako Věta o posunutí^[2] účinně říká, že náhodné nezávislý posunutí bodů procesu Poissonova bodu (na stejném podkladovém prostoru) tvoří další proces Poissonova bodu.

Transformace prostoru

Další vlastností, která je považována za užitečnou, je schopnost mapovat bodový proces z jednoho podkladového prostoru do jiného prostoru. Například bodový proces definovaný v rovině R² lze transformovat z Kartézské souřadnice na polární souřadnice.^[2]

Věta o mapování

Za předpokladu, že mapování (nebo transformace) dodržuje určité podmínky, pak je výsledek někdy známý jako Věta o mapování^[2] říká, že pokud je původní proces procesem Poissonova bodu s určitou mírou intenzity, pak výsledná mapovaná (nebo transformovaná) kolekce bodů také tvoří proces Poissonova bodu s jinou mírou intenzity.

Konvergence operací bodového procesu

Bodová operace prováděná jednou v určitém bodovém procesu může být obecně prováděna znovu a znovu. V teorii bodových procesů byly odvozeny výsledky ke studiu chování výsledného bodového procesu pomocí konvergence má za následek limit, protože počet provedených operací se blíží nekonečnu.^[4] Například pokud je každý bod v obecném bodovém procesu opakovaně přemístěn určitým náhodným a nezávislým způsobem, pak se nový bodový proces, neformálně řečeno, bude stále více podobat procesu Poissonova bodu. Podobné výsledky konvergence byly vyvinuty pro operace ztenčení a superpozice (s vhodným přeškálováním podkladového prostoru).^[4]

Reference