Nu-transformace - Nu-transform

V teorii stochastické procesy, a ν-transformace je operace, která transformuje a opatření nebo a bodový proces do jiného bodového procesu. Intuitivně transformace ν náhodně přemístí body bodového procesu, přičemž typ přemístění závisí na poloze každého bodu.

Definice

Pro opatření

Nechat ${ displaystyle delta _ {x}}$ označit Diracova míra na místě ${ displaystyle x}$ a nechte ${ displaystyle mu}$ být jednoduchým bodovým měřítkem ${ displaystyle S}$ . Tohle znamená tamto

{ displaystyle mu = součet _ {k} delta _ {s_ {k}}}

pro odlišné ${ displaystyle s_ {k} v S}$ a ${ displaystyle mu (B) < infty}$ pro každou ohraničenou množinu ${ displaystyle B}$ v ${ displaystyle S}$ . Dále nechte ${ displaystyle nu}$ být Markovovo jádro z ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle T}$ .

Nechat ${ displaystyle tau _ {k}}$ být nezávislé náhodné prvky s distribucí ${ displaystyle nu _ {s_ {k}} = nu (s_ {k}, cdot)}$ . Pak bodový proces

{ displaystyle zeta = součet _ {k} delta _ { tau _ {k}}}

se nazývá ν-transformace míry ${ displaystyle mu}$ pokud je to lokálně konečné, to znamená ${ displaystyle zeta (B) < infty}$ pro každou ohraničenou množinu ${ displaystyle B}$ ^[1]

Pro bodové procesy

Pro bodový proces ${ displaystyle xi}$ , proces druhého bodu ${ displaystyle zeta}$ se nazývá a ${ displaystyle nu}$ - transformace ${ displaystyle xi}$ pokud, podmíněno ${ displaystyle { xi = mu }}$ bodový proces ${ displaystyle zeta}$ je ${ displaystyle nu}$ - transformace ${ displaystyle mu}$ .^[1]

Vlastnosti

Stabilita

Li ${ displaystyle zeta}$ je Coxův proces řízeno náhodným měřítkem ${ displaystyle xi}$ , pak ${ displaystyle nu}$ - transformace ${ displaystyle zeta}$ je opět Coxův proces, řízený náhodnou mírou ${ displaystyle xi cdot nu}$ (vidět Přechodové jádro # Složení jader )^[2]

Proto ${ displaystyle nu}$ -transformace a Poissonův proces s měřením intenzity ${ displaystyle mu}$ je Coxův proces režie a náhodné opatření s distribucí ${ displaystyle mu cdot nu}$ .

Laplaceova transformace

To ${ displaystyle zeta}$ je ${ displaystyle nu}$ - transformace ${ displaystyle xi}$ , pak Laplaceova transformace z ${ displaystyle zeta}$ darováno

{ displaystyle { mathcal {L}} _ { zeta} (f) = exp left ( int log left [ int exp (-f (t)) mu _ {s} ( mathrm {d} t) right] xi ( mathrm {d} s) right)}

pro všechny omezené, pozitivní a měřitelné funkce ${ displaystyle f}$ .^[1]

Reference

^ ^A ^b ^C Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. str. 73. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^ Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. str. 75. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[Kallenberg73-1] A ^b ^C Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. str. 73. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[Kallenberg75-2] Kallenberg, Olav (2017). Náhodná opatření, teorie a aplikace. Švýcarsko: Springer. str. 75. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[1]

[2]