Desarguessova věta - Desarguess theorem - Wikipedia

Perspektivní trojúhelníky. Odpovídající strany trojúhelníků, jsou-li prodlouženy, se setkávají v bodech na přímce zvané osa perspektivity. Čáry, které procházejí odpovídajícími vrcholy na trojúhelnících, se setkávají v bodě zvaném centrum perspektivity. Desarguesova věta uvádí, že pravdivost první podmínky je nezbytné a dostatečné pro pravdu druhého.

v projektivní geometrie, Desarguesova věta, pojmenoval podle Girard Desargues, uvádí:

Dva trojúhelníky jsou v perspektivní axiálně kdyby a jen kdyby jsou v perspektivě centrálně.

Označte tři vrcholy jednoho trojúhelníku o $A, b$ a $C$ , a ostatní od uživatele $A, B$ a $C$ . Axiální perspektiva znamená, že řádky $ab$ a $AB$ setkat se v bodě, řádcích $ac$ a $AC$ setkat se v druhém bodě a řádcích $před naším letopočtem$ a $před naším letopočtem$ se setkají ve třetím bodě a že všechny tyto tři body leží na společné linii zvané osa perspektivity. Centrální perspektiva znamená, že tři řádky $Aa, Bb$ a $Cc$ jsou souběžné, v bodě zvaném střed perspektivy.

Tento tečka o průniku je pravda obvyklá Euklidovské letadlo ale ve výjimečných případech je třeba věnovat zvláštní pozornost, jako když jsou dvojice stran rovnoběžné, aby jejich „průsečík“ ustoupil do nekonečna. Obyčejně k odstranění těchto výjimek matematici „dokončují“ euklidovskou rovinu přidáním bodů v nekonečnu, Jean-Victor Poncelet. Výsledkem je a projektivní rovina.

Desarguesova věta platí pro skutečná projektivní rovina, pro libovolný projektivní prostor definovaný aritmeticky od a pole nebo dělící prsten, pro jakýkoli projektivní prostor jiné dimenze než dva a pro jakýkoli projektivní prostor, ve kterém Pappusova věta drží. Je jich však mnoho letadla ve kterém je Desarguesova věta nepravdivá.

Dějiny

Desargues nikdy tuto větu nezveřejnil, ale objevila se v příloze s názvem Univerzální metoda M. Desargues pro použití perspektivy (Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective) k praktické knize o využití perspektivy vydané v roce 1648^[1] jeho přítel a žák Abraham Bosse (1602–1676).^[2]

Projektivní versus afinní prostory

V afinní prostor tak jako Euklidovské letadlo podobné tvrzení je pravdivé, ale pouze v případě, že je uveden seznam různých výjimek zahrnujících paralelní čáry. Desarguesova věta je proto jednou z nejjednodušších geometrických vět, jejíž přirozený domov je spíše v projektivním než afinním prostoru.

Self-dualita

Podle definice jsou dva trojúhelníky perspektivní právě když jsou v perspektivě centrálně (nebo ekvivalentně podle této věty v perspektivě axiálně). Všimněte si, že perspektivní trojúhelníky nemusí být podobný.

Podle standardu dualita roviny projektivní geometrie (kde body odpovídají přímkám a kolinearita bodů odpovídá souběžnosti čar), je tvrzení Desarguesovy věty samo-duální:^[3] axiální perspektiva se převádí na centrální perspektivu a naopak. Konfigurace Desargues (níže) je konfigurace duální.^[4]

Důkaz Desarguesovy věty

Desarguesova věta platí pro projektivní prostor jakékoli dimenze nad jakýmkoli polem nebo dělícím prstencem a platí také pro abstraktní projektivní prostory dimenze alespoň 3. V dimenzi 2 se roviny, pro které platí, nazývají Desarguesiánská letadla a jsou stejné jako roviny, kterým lze dát souřadnice přes dělicí kruh. Je jich také mnoho nedesarguesiánská letadla kde Desarguesova věta neplatí.

Trojrozměrný důkaz

Desarguesova věta platí pro jakýkoli projektivní prostor dimenze alespoň 3 a obecněji pro jakýkoli projektivní prostor, který lze vložit do prostoru dimenze alespoň 3.

Desarguesovu větu lze konstatovat následovně:

Pokud řádky

Aa, Bb

a

Cc

jsou tedy souběžné (setkávají se v určitém okamžiku)

body

AB \cap ab, AC \cap ac

a

před naším letopočtem \cap před naším letopočtem

jsou kolineární.

Body $A, B, A$ a $b$ jsou koplanární (leží ve stejné rovině) kvůli předpokládané souběžnosti $Aa$ a $Bb$ . Proto řádky $AB$ a $ab$ patří do stejné roviny a musí se protínat. Dále, pokud dva trojúhelníky leží v různých rovinách, pak bod $AB \cap ab$ patří oběma letadlům. Symetrickým argumentem body $AC \cap ac$ a $před naším letopočtem \cap před naším letopočtem$ také existují a patří do rovin obou trojúhelníků. Protože se tyto dvě roviny protínají ve více než jednom bodě, je jejich průsečíkem přímka, která obsahuje všechny tři body.

To dokazuje Desarguesovu větu, pokud dva trojúhelníky nejsou obsaženy ve stejné rovině. Pokud jsou ve stejné rovině, lze Desarguesovu větu dokázat výběrem bodu, který není v rovině, pomocí kterého se trojúhelníky zvednou z roviny tak, aby výše uvedený argument fungoval, a poté se promítnou zpět do roviny. Poslední krok kontroly selže, pokud má projektivní prostor rozměr menší než 3, protože v tomto případě není možné najít bod, který není v rovině.

Mongeova věta také tvrdí, že tři body leží na přímce, a má důkaz využívající stejnou myšlenku uvažovat o tom ve třech, nikoli ve dvou rozměrech a psát přímku jako průsečík dvou rovin.

Dvourozměrný důkaz

Jak jsou nedesarguesovské projektivní roviny ve kterém Desarguesova věta není pravdivá,^[5] je třeba splnit některé další podmínky. Tyto podmínky mají obvykle formu předpokládání existence dostatečně mnoha kolineace určitého typu, což zase vede k prokázání, že podkladový algebraický souřadný systém musí být a dělící prsten (skewfield).^[6]

Vztah k Pappusově větě

Pappusova šestihranná věta uvádí, že pokud a šestiúhelník $AbCaBc$ je nakreslen takovým způsobem, že vrcholy $A, b$ a $C$ leží na přímce a vrcholech $A, B$ a $C$ leží na druhé přímce, pak každá dvě protilehlé strany šestiúhelníku leží na dvou přímkách, které se setkávají v bodě, a tři takto konstruované body jsou kolineární. Rovina, ve které je všeobecně pravdivá Pappusova věta, se nazývá Pappian.Hessenberg (1905)^[7] ukázal, že Desarguesovu větu lze odvodit ze tří aplikací Pappusovy věty.^[8]

The konverzovat tento výsledek není pravdivý, to znamená, že ne všechna desarguesiánská letadla jsou pappiánská. Uspokojení Pappusovy věty je všeobecně ekvivalentní tomu, že existuje základní souřadnicový systém komutativní. Rovina definovaná nad nekomutativním dělícím prstencem (dělící prstenec, který není polem) by tedy byla Desarguesian, ale ne Pappian. Nicméně kvůli Wedderburnova malá věta, který uvádí, že vše konečný dělící kroužky jsou pole, všechna konečný Desarguesiánská letadla jsou pappská. Není však znám úplně geometrický důkaz této skutečnosti Bamberg & Penttila (2015) poskytnout důkaz, který používá pouze „základní“ algebraické fakty (spíše než plnou sílu Wedderburnovy malé věty).

Konfigurace Desargues

Konfigurace Desargues vnímána jako dvojice vzájemně vepsaných pětiúhelníků: každý vrchol pětiúhelníku leží na linii jednou ze stran druhého pětiúhelníku.

Deset řádků zapojených do Desarguesovy věty (šest stran trojúhelníků, tři řádky $Aa, Bb$ a $Cc$ a osa perspektivity) a deset zapojených bodů (šest vrcholů, tři průsečíky na ose perspektivity a střed perspektivy) jsou uspořádány tak, že každá z deseti čar prochází třemi z deseti bodů a každý z deseti bodů leží na třech z deseti čar. Těch deset bodů a deset linií tvoří Odstraňuje konfiguraci, příklad a projektivní konfigurace. Ačkoli Desarguesova věta vybírá pro tyto deset řádků a bodů různé role, samotná konfigurace Desargues je více symetrický: žádný z deseti bodů může být vybráno jako střed perspektivity a tato volba určuje, které šest bodů budou vrcholy trojúhelníků a která čára bude osou perspektivity.

Malá Desarguesova věta

Tato omezená verze uvádí, že pokud jsou dva trojúhelníky perspektivní z bodu na dané přímce a dva páry odpovídajících stran se také setkávají na této přímce, pak se třetí dvojice odpovídajících stran setká také na přímce. Jde tedy o specializaci Desarguesovy věty pouze na případy, kdy střed perspektivy leží na ose perspektivy.

A Mufangové letadlo je projektivní rovina, ve které je malá Desarguesova věta platná pro každý řádek.

Viz také

Pascalova věta

Poznámky

^ Smith (1959, str. 307)
^ Katz (1998, str. 461)
^ To je způsobeno moderním způsobem psaní věty. Věta z historického hlediska pouze četla: „V projektivním prostoru je dvojice centrálně perspektivních trojúhelníků axiálně perspektivní“ a dvojka tohoto tvrzení se nazývala konverzovat Desarguesovy věty a vždy byl tímto jménem označován. Viz (Coxeter 1964, str. 19)
^ (Coxeter 1964 ) s. 26–27.
^ Nejmenší příklady z nich lze nalézt v Room & Kirkpatrick 1971.
^ (Albert & Sandler 1968 ), (Hughes & Piper 1973 ), a (Stevenson 1972 ).
^ Podle (Dembowski 1968, str. 159, poznámka pod čarou 1), Hessenbergův původní důkaz není úplný; nezohlednil možnost, že v konfiguraci Desargues může dojít k dalším incidentům. Kompletní důkaz poskytuje Cronheim 1953.
^ Coxeter 1969, str. 238, oddíl 14.3

Reference

Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (2015) [1968], Úvod do konečných projektivních rovin Dover, ISBN 978-0-486-78994-1
Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), „Dokončení Segreova důkazu o Wedderburnově malé větě“, Bulletin of London Mathematical Society, 47 (3): 483–492, doi:10.1112 / blms / bdv021
Casse, Rey (2006), Projektivní geometrie: Úvod, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
Coxeter, H.S.M. (1964), Projektivní geometrie, Blaisdell
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Úvod do geometrie (2. vyd.), Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0, PAN 0123930
Cronheim, Arno (1953), „Důkaz Hessenbergovy věty“, Proceedings of the American Mathematical Society, 4 (2): 219–221, doi:10.2307/2031794, JSTOR 2031794, PAN 0053531
Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie Springer Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0
Hessenberg, Gerhard (1905), „Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen“, Mathematische Annalen Springer, 61 (2): 161–172, doi:10.1007 / BF01457558, ISSN 1432-1807
Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), Chelsea, str. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9
Hughes, Dan; Piper, Fred (1973), Projektivní roviny, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
Kárteszi, Ferenc (1976), Úvod do konečných geometrií, Severní Holandsko, ISBN 0-7204-2832-7
Katz, Victor J. (1998), Historie matematiky: Úvod (2. vyd.), Reading, Mass.: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
Pokoj, Thomas G.; Kirkpatrick, P. B. (1971), Miniquaternion Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
Smith, David Eugene (1959), Zdrojová kniha z matematikyDover, ISBN 0-486-64690-4
Stevenson, Frederick W. (1972), Projektivní roviny, W.H. Freemane, ISBN 0-7167-0443-9
Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], „Předpoklad Desargues“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

[1] Smith (1959, str. 307)

[2] Katz (1998, str. 461)

[3] To je způsobeno moderním způsobem psaní věty. Věta z historického hlediska pouze četla: „V projektivním prostoru je dvojice centrálně perspektivních trojúhelníků axiálně perspektivní“ a dvojka tohoto tvrzení se nazývala konverzovat Desarguesovy věty a vždy byl tímto jménem označován. Viz (Coxeter 1964, str. 19)

[4] (Coxeter 1964 ) s. 26–27.

[5] Nejmenší příklady z nich lze nalézt v Room & Kirkpatrick 1971.

[6] (Albert & Sandler 1968 ), (Hughes & Piper 1973 ), a (Stevenson 1972 ).

[7] Podle (Dembowski 1968, str. 159, poznámka pod čarou 1), Hessenbergův původní důkaz není úplný; nezohlednil možnost, že v konfiguraci Desargues může dojít k dalším incidentům. Kompletní důkaz poskytuje Cronheim 1953.

[8] Coxeter 1969, str. 238, oddíl 14.3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]