Moultonovo letadlo - Moulton plane

The Moultonovo letadlo. Řádky skloněné dolů a napravo jsou ohnuty tam, kde procházejí y-osa.

v geometrie dopadu, Moultonovo letadlo je příkladem afinní letadlo ve kterém Desarguesova věta nedrží. Je pojmenována po americkém astronomovi Forest Ray Moulton. Body Moultonovy roviny jsou jednoduše body ve skutečné rovině R² a řádky jsou také pravidelné řádky s výjimkou řádků se záporem sklon, sklon se zdvojnásobí, když projdou kolem y-osa.

Formální definice

Moultonovo letadlo je struktura výskytu ${displaystyle {mathfrak {M}} = jazyk P, G, {extrm {I}} úhel}$, kde ${displaystyle P}$ označuje množinu bodů, ${displaystyle G}$ sada řádků a ${displaystyle {extrm {I}}}$ vztah výskytu „leží na“:

${displaystyle P: = mathbb {R} ^ {2},}$

${displaystyle G: = (mathbb {R} pohár {infty}) imes mathbb {R},}$

${displaystyle infty}$ je jen formální symbol pro prvek ${displaystyle ot in mathbb {R}}$. Používá se k popisu svislých čar, které můžete považovat za čáry s nekonečně velkým sklonem.

Vztah výskytu je definován takto:

Pro ${displaystyle p = (x, y) v P}$ a ${displaystyle g = (m, b) v G}$ my máme

${displaystyle p, {extrm {I}}, giff {egin {cases} x = b & {ext {if}} m = infty y = {frac {1} {2}} mx + b & {ext {if}} mleq 0, xleq 0 y = mx + b & {ext {if}} mgeq 0 {ext {or}} xgeq 0.end {cases}}}$

aplikace

Moultonova rovina je afinní rovina, ve které Desarguesova věta neplatí.^[1] Přidružená projektivní rovina je tedy také nedesarguesiánská. To znamená, že existují projektivní roviny, které nejsou izomorfní ${displaystyle PG (2, F)}$ pro všechny (šikmé) pole F. Tady ${displaystyle PG (2, F)}$ je projektivní rovina ${displaystyle P (F ^ {3})}$ určeno trojrozměrným vektorovým prostorem nad (šikmým) polem F.

Poznámky

Reference

• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projektivní geometrie: Od základů po aplikace, Cambridge University Press, str.76–78, ISBN  978-0-521-48364-3
• Moulton, Forest Ray (1902), „Simple Non-Desarguesian Plane Geometry“, Transakce Americké matematické společnosti „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, 3 (2): 192–195, doi:10.2307/1986419, ISSN  0002-9947, JSTOR  1986419
• Richard S. Millman, George D. Parker: Geometrie: Metrický přístup s modely. Springer 1991, ISBN  9780387974125, str. 97-104