Věta o multiplicitě-jedné - Multiplicity-one theorem

V matematické teorii automorfní reprezentace, a věta o multiplicitě-jedné je výsledek o teorie reprezentace z adelic reduktivní algebraická skupina. Dotyčná multiplicita je počet opakování daného abstraktu skupinové zastoupení je realizován v určitém prostoru, z čtvercově integrovatelné funkce, podáno konkrétním způsobem.

Mnohočlenná věta může také odkazovat na výsledek o omezení a zastoupení a skupina G do a podskupina H. V této souvislosti dvojice (G, H) se nazývá silný Gelfandův pár.

Definice

Nechat G být redukční algebraickou skupinou nad a pole s číslem K. a nechte A označit adeles z K.. Nechat Z označit centrum z G a nechte $ω$ být kontinuální jednotný znak z Z(K.) Z (A)^× na C^×. Nechat L²₀(G(K.)/G(A), $ω$ ) označují prostor hrotových forem s centrálním znakem ω na G(A). Tento prostor se rozkládá na a přímý součet Hilbertových prostorů

{ displaystyle L_ {0} ^ {2} (G (K) zpětné lomítko G ( mathbf {A}), omega) = { widehat { bigoplus}} _ {( pi, V _ { pi} )} m _ { pi} V _ { pi}}

kde součet skončil neredukovatelné subreprezentace a m_$π$ jsou nezáporné celá čísla.

Skupina adelických bodů G, G(A), se říká, že uspokojuje vlastnost multiplicity-one jestli nějaký hladký neredukovatelné přípustné zastoupení z G(A) se vyskytuje s multiplicitou maximálně jednoho v prostoru hrotové formy ústřední postavy $ω$ , tj. m_$π$ je 0 nebo 1 pro všechny takové $π$ .

Výsledek

Skutečnost, že obecná lineární skupina, GL(n), byla prokázána vlastnost multiplicity-one Jacquet & Langlands (1970) pro n = 2 a nezávisle na Piatetski-Shapiro (1979) a Shalika (1974 ) pro n > 2 s využitím jedinečnosti Whittakerův model. Multiplicity-one platí také pro SL(2), ale ne pro SL(n) pro n > 2 (Blasius 1994 ).

Silná multiplicita jedna věta

Silná multiplicita jedné věty Piatetski-Shapiro (1979) a Jacquet & Shalika (1981) uvádí, že dvě vrcholová automorfní reprezentace obecné lineární skupiny jsou izomorfní, pokud jsou jejich místní složky izomorfní pro všechna místa kromě konečného počtu.

Reference

Blasius, Don (1994), „O multiplicitě pro SL (n)", Israel Journal of Mathematics, 88 (1): 237–251, doi:10.1007 / BF02937513, ISSN 0021-2172, PAN 1303497
Cogdell, James W. (2004), "Přednášky o funkcích L, konverzních větách a funkcionality pro GL_n", Cogdell, James W .; Kim, Henry H .; Murty, Maruti Ram (eds.), Přednášky o automorfních L-funkcích, Fields Inst. Monogr., 20„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, s. 1–96, ISBN 978-0-8218-3516-6, PAN 2071506
Jacquet, Hervé; Langlands, Robert (1970), Automorfní formuláře na GL (2)Přednášky z matematiky, 114, Springer-Verlag
Jacquet, H .; Shalika, J. A. (1981), "K produktům Euler a klasifikaci automorfních reprezentací. I", American Journal of Mathematics, 103 (3): 499–558, doi:10.2307/2374103, ISSN 0002-9327, PAN 0618323 Jacquet, H .; Shalika, J. A. (1981), „O produktech Euler a klasifikaci automorfních reprezentací. II“ (PDF), American Journal of Mathematics, 103 (4): 777–815, doi:10.2307/2374050, ISSN 0002-9327, JSTOR 2374050, PAN 0618323
Piatetski-Shapiro, I. I. (1979), „Věty o multiplicitě jedna“, in Borel, Armand; Casselman., W. (eds.), Automorfní formy, reprezentace a funkce L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), část 1, Proc. Symposy. Pure Math., XXXIII, Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 209–212, ISBN 978-0-8218-1435-2, PAN 0546599
Shalika, J. A. (1974), „Věta o multiplicitě pro GL_n", Annals of Mathematics, Druhá série, 100: 171–193, doi:10.2307/1971071, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971071, PAN 0348047