Metaplektická struktura - Metaplectic structure - Wikipedia

v diferenciální geometrie, a metaplektická struktura je symplektický analog spinová struktura na orientovatelný Riemannovy rozdělovače. Metaplektická struktura na a symplektické potrubí umožňuje definovat symplektický spinorový svazek, který je Hilbertův prostor svazek spojený s metaplektickou strukturou prostřednictvím metaplektické reprezentace, což vedlo k pojmu a symplektické spinorové pole v diferenciální geometrii.

Symplektické spinové struktury mají široké uplatnění matematická fyzika, zejména na kvantová teorie pole kde jsou podstatnou přísadou při vytváření myšlenky, že symplektická geometrie spinu a symplektické Dirac operátory mohou poskytnout cenné nástroje v symplektické geometrii a symplektické topologii. Zajímají se také o čistě matematický zájem diferenciální geometrie, algebraická topologie, a Teorie K.. Tvoří základ pro symplektickou geometrii rotace.

Formální definice

A metaplektická struktura ^[1] na symplektické potrubí ${ displaystyle (M, omega)}$ je ekvivariant výtah svazek symplektického rámu ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} dvojtečka { mathbf {R}} na M ,}$ s ohledem na dvojitou krytinu ${ displaystyle rho colon { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}) do { mathrm {Sp}} (n, { mathbb {R}}). ,}$ Jinými slovy pár ${ displaystyle ({ mathbf {P}}, F _ { mathbf {P}})}$ je metaplektická struktura na hlavním svazku ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} dvojtečka { mathbf {R}} na M ,}$ když

A) ${ displaystyle pi _ { mathbf {P}} dvojtečka { mathbf {P}} do M ,}$ je jistina ${ displaystyle { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}})}$-bundle přes ${ displaystyle M}$,

b) ${ displaystyle F _ { mathbf {P}} dvojtečka { mathbf {P}} do { mathbf {R}} ,}$ je ekvivariant ${ displaystyle 2}$-složit krycí mapa takhle

${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} circ F _ { mathbf {P}} = pi _ { mathbf {P}}}$ a ${ displaystyle F _ { mathbf {P}} ({ mathbf {p}} q) = F _ { mathbf {P}} ({ mathbf {p}}) rho (q)}$ pro všechny ${ displaystyle { mathbf {p}} v { mathbf {P}}}$ a ${ displaystyle q in { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}).}$

Hlavní balíček ${ displaystyle pi _ { mathbf {P}} dvojtečka { mathbf {P}} do M ,}$ se také nazývá svazek metaplektické rámečky přes ${ displaystyle M}$.

Dvě metaplektické struktury ${ displaystyle ({ mathbf {P} _ {1}}, F _ { mathbf {P} _ {1}})}$ a ${ displaystyle ({ mathbf {P} _ {2}}, F _ { mathbf {P} _ {2}})}$ na stejné symplektické potrubí ${ displaystyle (M, omega)}$ se nazývají ekvivalent pokud existuje ${ displaystyle { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}})}$- ekvivariantní mapa ${ displaystyle f colon { mathbf {P} _ {1}} do { mathbf {P} _ {2}}}$ takhle

${ displaystyle F _ { mathbf {P} _ {2}} circ f = F _ { mathbf {P} _ {1}}}$ a ${ displaystyle f ({ mathbf {p}} q) = f ({ mathbf {p}}) q}$ pro všechny ${ displaystyle { mathbf {p}} v { mathbf {P} _ {1}}}$ a ${ displaystyle q in { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}).}$

V tomto případě samozřejmě ${ displaystyle F _ { mathbf {P} _ {1}}}$ a ${ displaystyle F _ { mathbf {P} _ {2}}}$ jsou dvě ekvivalentní dvojité krytiny symplektického rámu ${ displaystyle { mathrm {Sp}} (n, { mathbb {R}})}$- svazek ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} dvojtečka { mathbf {R}} na M ,}$ daného symplektického potrubí ${ displaystyle (M, omega)}$.

Obstrukce

Protože každý symplektické potrubí ${ displaystyle M}$ je nutně sudého rozměru a orientovatelný, lze dokázat, že topologické obstrukce k existenci metaplektické struktury je přesně stejný jako v Riemannovi geometrie rotace.^[2] Jinými slovy, symplektická rozmanitost ${ displaystyle (M, omega)}$ připouští a metaplektické struktury právě tehdy, když druhý Třída Stiefel-Whitney ${ displaystyle w_ {2} (M) v H ^ {2} (M, { mathbb {Z} _ {2}})}$ z ${ displaystyle M}$ zmizí. Ve skutečnosti modulo ${ displaystyle _ {2}}$ snížení první Třída Chern ${ displaystyle c_ {1} (M) v H ^ {2} (M, { mathbb {Z}})}$ je druhá Třída Stiefel-Whitney ${ displaystyle w_ {2} (M)}$. Proto, ${ displaystyle (M, omega)}$ připouští metaplektické struktury právě tehdy ${ displaystyle c_ {1} (M)}$ je sudé, tj. právě tehdy ${ displaystyle w_ {2} (M)}$ je nula.

Pokud tomu tak je, pak izomorfní třídy metaplektické struktury na ${ displaystyle (M, omega)}$ jsou klasifikovány podle prvního kohomologická skupina ${ displaystyle H ^ {1} (M, { mathbb {Z} _ {2}})}$ z ${ displaystyle M}$ s ${ displaystyle { mathbb {Z} _ {2}}}$- koeficienty.

Jako potrubí ${ displaystyle M}$ se předpokládá, že je orientovaný, první Třída Stiefel-Whitney ${ displaystyle w_ {1} (M) v H ^ {1} (M, { mathbb {Z} _ {2}})}$ z ${ displaystyle M}$ zmizí také.

Příklady

Rozdělovače připouštějící metaplektickou strukturu

• Fázové prostory ${ displaystyle (T ^ { ast} N, theta) ,,}$ ${ displaystyle N}$ jakékoli orientovatelné potrubí.
• Složité projektivní prostory ${ displaystyle { mathbb {P}} ^ {2k + 1} { mathbb {C}} ,,}$ ${ displaystyle , k in { mathbb {N}} _ {0} ,.}$ Od té doby ${ displaystyle { mathbb {P}} ^ {2k + 1} { mathbb {C}} ,}$ je jednoduše připojen, taková struktura musí být jedinečná.
• Grassmannian ${ displaystyle Gr (2,4) ,,}$ atd.

Viz také

• Metaplektická skupina
• Symplectic frame bundle
• Symplektická skupina
• Symplektický spinorový svazek

Poznámky

Reference

• Habermann, Katharina; Habermann, Lutz (2006), Úvod do operátorů symmplectic dirac, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-33420-0