Magický šestiúhelník - Magic hexagon

M = 38
A magický šestiúhelník řádu n je uspořádání čísel v a centrovaný šestihranný vzor s n buňky na každém okraji takovým způsobem, že čísla v každém řádku ve všech třech směrech se shodují magická konstanta M. A normální magický šestiúhelník obsahuje po sobě jdoucí celá čísla od 1 do 3n2 − 3n + 1. Ukázalo se, že normální magické šestiúhelníky existují pouze pro n = 1 (což je triviální, protože se skládá pouze z 1 šestiúhelníku) a n = 3. Navíc je řešení řádu 3 v zásadě jedinečné.[1] Meng také poskytla méně složitý konstruktivní důkaz.[2]
Magický šestiúhelník řádu 3 byl mnohokrát publikován jako „nový“ objev. Časný odkaz, a možná první objevitel, je Ernst von Haselberg (1887).
Důkaz normálních magických šestiúhelníků
Čísla v šestiúhelníku jsou po sobě jdoucí a běží od 1 do . Proto je jejich součet a trojúhelníkové číslo, jmenovitě
Existují r = (2n - 1) řádky probíhající v libovolném daném směru (V-Z, SV-JZ nebo SZ-JV). Každý z těchto řádků má součet stejného počtu M. Proto:
To lze přepsat jako
Vynásobením 32 dáváte
což ukazuje musí být celé číslo, proto 2n-1 musí být faktorem 5, a to 2n-1 = 1 nebo 2n-1 = 5. Jediný které splňují tuto podmínku a , což dokazuje, že neexistují žádné normální magické šestiúhelníky kromě těch z řádu 1 a 3.
Abnormální magické šestiúhelníky
Ačkoli neexistují žádné normální magické šestiúhelníky s řádem větším než 3, určité abnormální existují. V tomto případě abnormální znamená spuštění sekvence čísel jiných než s 1. Arsen Zahray objevil tyto řádky 4 a 5 šestiúhelníků:
![]() | ![]() |
Objednávka 4 M = 111 | Objednávka 5 M = 244 |
Šestiúhelník řádu 4 začíná číslem 3 a končí číslem 39, jeho řádky se sčítají k 111. Šestiúhelník řádu 5 začíná číslem 6 a končí číslem 66 a součtem 244.
Objednávka 5 šestiúhelníku začínající na 15, končící 75 a sčítající do 305 je tato:
56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 16 31 38 64 58 57 22 20 15 18 23 43 49 63 47 28 21 17 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50 |
Vyšší částka než 305 u šestiúhelníků objednávky 5 není možná.
Pořadí 5 šestiúhelníků, kde „X“ jsou zástupné symboly pro pořadí 3 šestiúhelníků, které doplňují číselnou posloupnost. V horní části se vejde šestiúhelník se součtem 38 (čísla 1 až 19) a ve spodní části 26 šestiúhelníků se součtem 0 (čísla -9 až 9). (pro více informací navštivte Německý článek na Wikipedii )
39 35-14 21-20-16-12 37 22 34-4 XXX -5-7 -1 36 XXXX -13-17 30 23X XXXX -6 24-21 26 XXXX -3 0 28 -2 XXX 27-11 - 18 25-15-9 33-8 29 31 38 32-10 20-19 19 28 28-18-13-27-30-28 18 15 13 12 XXX 27 21-22-26 XXXX -11-24 16 19X XXXX - 12 10-20 22 XXXX -16-21 11 26 XXX 20 14-19-1915-29-25 17 24 23-10 29 25-17-14-23
Níže je vidět šestihran objednávky 6. Vytvořil ho Louis Hoelbling 11. října 2004:

Začíná 21, končí 111 a jeho součet je 546.
Tento magický šestiúhelník řádu 7 byl objeven pomocí simulovaného žíhání Arsenem Zahrayem dne 22. března 2006:

Začíná 2, končí 128 a jeho součet je 635.
Louis K. Hoelbling vygeneroval 5. února 2006 magický šestiúhelník:

Začíná to na -84 a končí na 84 a jeho součet je 0.
Magické T-šestiúhelníky
Šestiúhelníky lze také sestrojit z trojúhelníků, jak ukazují následující diagramy.
![]() | ![]() |
Objednávka 2 | Objednávejte 2 s čísly 1–24 |
Tento typ konfigurace lze nazvat T-šestiúhelník a má mnohem více vlastností než šestiúhelník šestiúhelníků.
Stejně jako výše uvedené, řady trojúhelníků probíhají ve třech směrech a v T-šestiúhelníku řádu 2 je 24 trojúhelníků. Obecně platí, že T-šestiúhelník řádu n má trojúhelníky. Součet všech těchto čísel je dán vztahem:
Pokusíme-li se postavit magický T-šestiúhelník strany n, musíme si vybrat n být vyrovnaný, protože existují r = 2n řádky, takže součet v každém řádku musí být
Aby to bylo celé číslo, n musí být rovnoměrné. K dnešnímu dni byly objeveny magické T-šestiúhelníky řádu 2, 4, 6 a 8. První byl magický T-šestiúhelník řádu 2, objevený Johnem Bakerem dne 13. září 2003. Od té doby John spolupracuje s Davidem Kingem, který zjistil, že existuje 59 674 527 nekongruentních magických T-šestiúhelníků řádu 2.
Magické T-šestiúhelníky mají řadu společných vlastností s magickými čtverci, ale mají také své vlastní speciální funkce. Nejpřekvapivější z nich je, že součet čísel v trojúhelnících směřujících nahoru je stejný jako součet čísel v trojúhelnících směřujících dolů (bez ohledu na to, jak velký je T-šestiúhelník). Ve výše uvedeném příkladu
- 17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7
- = 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18
- = 150
Poznámky
- ^ Trigg, C. W. „Unikátní magický šestiúhelník“, Rekreační matematický časopis, Leden – únor 1964. Citováno 16. 12. 2009.
- ^
„Research into the Order 3 Magic Hexagon“, Ocenění Shing-Tung Yau, Říjen 2008. Citováno 16. 12. 2009.
Reference
- Pekař. J. E. a King, D. R. (2004) „The use of visual schema to find properties of a hexagon“ Visual Mathematics, Volume 5, Number 3
- Baker, J. E. a Baker, A. J. (2004) „Šestiúhelník, volba přírody“ Archimedes, svazek 4