Asociativní magický čtverec - Associative magic square

V Náměstí Lo Shu, párů opačných čísel je 10

Detail od Melencolia I. zobrazeno a

{displaystyle 4 imes 4}

asociativní čtverec

An asociativní magický čtverec je magický čtverec pro které každá dvojice čísel symetricky protilehlá ke středu sčítá až stejnou hodnotu. Pro ${displaystyle n imes n}$ čtverec, vyplněný čísly z ${displaystyle 1}$ na ${displaystyle n ^ {2}}$ , tato společná částka se musí rovnat ${displaystyle n ^ {2} +1}$ . Tyto čtverce se také nazývají přidružené magické čtverce, pravidelné magické čtverce, regmagické čtvercenebo symetrické magické čtverce.^[1]^[2]^[3]

Příklady

Například Náměstí Lo Shu, unikátní ${displaystyle 3 imes 3}$ magický čtverec, je asociativní, protože každá dvojice protilehlých bodů tvoří linii čtverce spolu se středovým bodem, takže součet dvou protilehlých bodů se rovná součtu přímky minus hodnota středového bodu bez ohledu na to, které dva protilehlé body jsou vybrány body.^[4] The ${displaystyle 4 imes 4}$ magický čtverec od Albrecht Dürerje 1514 gravírování Melencolia I., rovněž nalezený v dopise z roku 1765 Benjamin Franklin, je také asociativní, přičemž každá dvojice protilehlých čísel dosahuje 17.^[5]

Existence a výčet

Počet možných asociativních ${displaystyle n imes n}$ magické čtverce pro ${displaystyle n = 3,4,5, tečky}$ , počítající dva čtverce jako stejné, kdykoli se liší pouze rotací nebo odrazem, jsou:

1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (sekvence A081262 v OEIS )

Číslo nula na pozici pro ${displaystyle 6 imes 6}$ asociativní magické čtverce je příkladem obecnějšího jevu: tyto čtverce neexistují pro hodnoty ${displaystyle n}$ které jsou jednotlivě sudé (tj. rovné 2 modulo 4).^[3] Každý asociativní magický čtverec sudého řádu tvoří a singulární matice, ale asociativní magické čtverce lichého řádu mohou být singulární nebo nesingulární.^[4]

Reference

^ Frierson, L. S. (1917), „Poznámky k pandiagonálním a souvisejícím magickým čtvercům“, v Andrews, W. S. (ed.), Kouzelné čtverce a kostky (2. vyd.), Open Court, s. 229–244
^ Bell, Jordan; Stevens, Brett (2007), „Konstrukce ortogonálních pandiagonálních latinských čtverců a panmagických čtverců z modulárních ${displaystyle n}$ -řeší řešení ", Journal of Combinatorial Designs, 15 (3): 221–234, doi:10.1002 / jcd.20143, PAN 2311190
^ ^A ^b Nordgren, Ronald P. (2012), „O vlastnostech speciálních magických čtvercových matic“, Lineární algebra a její aplikace, 437 (8): 2009–2025, doi:10.1016 / j.laa.2012.05.031, PAN 2950468
^ ^A ^b Lee, Michael Z .; Láska, Elizabeth; Narayan, Sivaram K .; Wascher, Elizabeth; Webster, Jordan D. (2012), „Na neobvyklých pravidelných magických čtvercích lichého řádu“, Lineární algebra a její aplikace, 437 (6): 1346–1355, doi:10.1016 / j.laa.2012.04.004, PAN 2942355
^ Pasles, Paul C. (2001), „Ztracené čtverečky Dr. Franklina: chybějící čtverečky Bena Franklina a tajemství magického kruhu“, Americký matematický měsíčník, 108 (6): 489–511, doi:10.1080/00029890.2001.11919777, JSTOR 2695704, PAN 1840656

externí odkazy

Weisstein, Eric W., „Asociativní kouzelné náměstí“, MathWorld

[andrews-1] Frierson, L. S. (1917), „Poznámky k pandiagonálním a souvisejícím magickým čtvercům“, v Andrews, W. S. (ed.), Kouzelné čtverce a kostky (2. vyd.), Open Court, s. 229–244

[belste-2] Bell, Jordan; Stevens, Brett (2007), „Konstrukce ortogonálních pandiagonálních latinských čtverců a panmagických čtverců z modulárních ${displaystyle n}$ -řeší řešení ", Journal of Combinatorial Designs, 15 (3): 221–234, doi:10.1002 / jcd.20143, PAN 2311190

[nordgren-3] A ^b Nordgren, Ronald P. (2012), „O vlastnostech speciálních magických čtvercových matic“, Lineární algebra a její aplikace, 437 (8): 2009–2025, doi:10.1016 / j.laa.2012.05.031, PAN 2950468

[llnww-4] A ^b Lee, Michael Z .; Láska, Elizabeth; Narayan, Sivaram K .; Wascher, Elizabeth; Webster, Jordan D. (2012), „Na neobvyklých pravidelných magických čtvercích lichého řádu“, Lineární algebra a její aplikace, 437 (6): 1346–1355, doi:10.1016 / j.laa.2012.04.004, PAN 2942355

[pasles-5] Pasles, Paul C. (2001), „Ztracené čtverečky Dr. Franklina: chybějící čtverečky Bena Franklina a tajemství magického kruhu“, Americký matematický měsíčník, 108 (6): 489–511, doi:10.1080/00029890.2001.11919777, JSTOR 2695704, PAN 1840656

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]