BL (logika) - BL (logic)

Základní fuzzy logika (nebo krátce BL), logika kontinuální t-normy, je jedním z t-norm fuzzy logiky. Patří do širší třídy substrukturální logika nebo logiky reziduované mřížky;^[1] rozšiřuje logiku všech levicových spojitých t-norem MTL.

Syntax

Jazyk

Jazyk výrokové logiky BL se skládá z spočetně mnoho výrokové proměnné a následující primitivní logické spojky:

• Implikace ${ displaystyle rightarrow}$ (binární )
• Silná konjunkce ${ displaystyle otimes}$ (binární). Znaménko & je tradičnější notace pro silnou konjunkci v literatuře o fuzzy logice, zatímco notace ${ displaystyle otimes}$ navazuje na tradici substrukturální logiky.
• Dno ${ displaystyle bot}$ (nullary - a výroková konstanta ); ${ displaystyle 0}$ nebo ${ displaystyle { overline {0}}}$ jsou běžné alternativní znaky a nula běžný alternativní název pro výrokovou konstantu (protože konstanty dolní a nula substrukturální logiky se shodují v MTL).

Toto jsou nejběžnější definované logické spojky:

• Slabá konjunkce ${ displaystyle klín}$ (binární), také nazývaný mřížková konjunkce (jak si to vždy uvědomuje mříž provoz setkat v algebraické sémantice). Na rozdíl od MTL a slabší substrukturální logiky, slabá konjunkce je definovatelná v BL jako

${ displaystyle A klín B equiv A otimes (A rightarrow B)}$

• Negace ${ displaystyle neg}$ (unární ), definováno jako

${ displaystyle neg A equiv A rightarrow bot}$

• Rovnocennost ${ displaystyle leftrightarrow}$ (binární), definované jako

${ displaystyle A leftrightarrow B equiv (A rightarrow B) klín (B rightarrow A)}$

Stejně jako v MTL je definice ekvivalentní s ${ displaystyle (A rightarrow B) otimes (B rightarrow A).}$

• (Slabá) disjunkce ${ displaystyle vee}$ (binární), také nazývaný mřížová disjunkce (jak si to vždy uvědomuje mříž provoz připojit se v algebraické sémantice), definované jako

${ displaystyle A vee B equiv ((A rightarrow B) rightarrow B) klín ((B rightarrow A) rightarrow A)}$

• Horní ${ displaystyle top}$ (nullary), také volal jeden a označeno ${ displaystyle 1}$ nebo ${ displaystyle { overline {1}}}$ (protože konstanty horní a nula substrukturální logiky se shodují v MTL), definované jako

${ displaystyle top equiv bot rightarrow bot}$

Dobře formulované vzorce BL jsou definovány jako obvykle v výroková logika. Z důvodu uložení závorek je běžné použít následující prioritní pořadí:

• Unární spojky (nejužší vazba)
• Binární spojky jiné než implikace a ekvivalence
• Důsledky a ekvivalence (svázat nejvíce volně)

Axiomy

A Dedukční systém ve stylu Hilberta pro BL byl zaveden Petr Hájek (1998). Jeho jediné pravidlo odvození je modus ponens:

z ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle A rightarrow B}$ odvodit ${ displaystyle B.}$

Toto jsou jeho schémata axiomu:

${ displaystyle { begin {pole} {ll} { rm {(BL1)}} dvojtečka & (A rightarrow B) rightarrow ((B rightarrow C) rightarrow (A rightarrow C)) { rm {(BL2)}} colon & A otimes B rightarrow A { rm {(BL3)}} colon & A otimes B rightarrow B otimes A { rm {(BL4) }} dvojtečka & A otimes (A rightarrow B) rightarrow B otimes (B rightarrow A) { rm {(BL5a)}} colon & (A rightarrow (B rightarrow C)) rightarrow (A otimes B rightarrow C) { rm {(BL5b)}} colon & (A otimes B rightarrow C) rightarrow (A rightarrow (B rightarrow C)) { rm {(BL6)}} dvojtečka & ((A rightarrow B) rightarrow C) rightarrow (((B rightarrow A) rightarrow C) rightarrow C) { rm {(BL7)}} colon & bot rightarrow A end {pole}}}$

Ukázalo se, že axiomy (BL2) a (BL3) původního axiomatického systému jsou nadbytečné (Chvalovský, 2012) a (Cintula, 2005). Ukázalo se, že všechny ostatní axiomy jsou nezávislé (Chvalovský, 2012).

Sémantika

Jako v jiných výrokech t-norm fuzzy logiky, algebraická sémantika se používá převážně pro BL, se třemi hlavními třídami algebry vzhledem k čemuž logika je kompletní:

• Obecná sémantika, tvořené ze všech BL-algebry - to znamená všechny algebry, pro které je logika zvuk
• Lineární sémantika, tvořené ze všech lineární BL-algebry - tedy všechny BL-algebry, jejichž mříž objednávka je lineární
• Standardní sémantika, tvořené ze všech Standard BL-algebry - to znamená všechny BL-algebry, jejichž mřížkový redukce je skutečný jednotkový interval [0, 1] s obvyklým řádem; jsou jednoznačně určeny funkcí, která interpretuje silnou spojku, která může být jakákoli spojitá t-norma

Bibliografie

• Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer.
• Ono, H., 2003, „Substrukturální logika a residuované mřížky - úvod“. Ve F.V. Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trendy v logice 20: 177–212.
• Cintula P., 2005, „Krátká poznámka: O redundanci axiomu (A3) v BL a MTL“. Soft Computing 9: 942.
• Chvalovský K., 2012, "O nezávislosti axiomů v BL a MTL ". Fuzzy sady a systémy 197: 123–129, doi:10.1016 / j.fss.2011.10.018.

Reference