BCK algebra

V matematice BCI a BCK algebry jsou algebraické struktury v univerzální algebra, které představili Y. Imai, K. Iséki a S. Tanaka v roce 1966 a které popisují fragmenty výrokového počtu zahrnující implikaci známou jako BCI a Logika BCK.

Definice

BCI algebra

Algebra (ve smyslu univerzální algebry) ${displaystyle left (X; ast, 0ight)}$ typu ${displaystyle left (2,0ight)}$ se nazývá a BCI-algebra pokud vůbec ${displaystyle x, y, zin X}$ , splňuje následující podmínky. (Neformálně si můžeme přečíst ${displaystyle 0}$ jako „pravda“ a ${displaystyle xast y}$ tak jako " ${displaystyle y}$ naznačuje ${displaystyle x}$ ".)

BCI-1: ${displaystyle left (left (xast yight) ast left (xast zight) ight) ast left (zast yight) = 0}$
BCI-2: ${displaystyle left (xast left (xast yight) ight) ast y = 0}$
BCI-3: ${displaystyle xast x = 0}$
BCI-4: ${displaystyle xast y = 0land yast x = 0implies x = y}$
BCI-5: ${displaystyle xast 0 = 0implies x = 0}$

BCI-algebra ${displaystyle left (X; ast, 0ight)}$ se nazývá a BCK-algebra pokud splňuje následující podmínku:

BCK-1: ${displaystyle forall xin X: 0ast x = 0.}$

Částečný řád lze poté definovat jako X ≤ y iff x * y = 0.

Říká se, že BCK-algebra komutativní pokud splňuje:

{displaystyle xast (xast y) = yast (yast x)}

Komutativní BCK-algebrou X * (X * y) = X ∧ y je největší dolní mez z X a y v částečném pořadí ≤.

O BCK-algebře se říká, že je ohraničená, pokud má největší prvek, obvykle označený 1. V omezené komutativní BCK-algebře splňuje nejmenší horní hranice dvou prvků X ∨ y = 1 * ((1 * X) ∧ (1 * y)); díky tomu je distribuční mříž.

Příklady

Každý abelianská skupina je BCI-algebra, s * definovanou jako odčítání skupiny a 0 definovanou jako identita skupiny.

Podmnožiny množiny tvoří BCK-algebru, kde A * B je rozdíl AB (prvky v A, ale ne v B) a 0 je prázdná sada.

A Booleova algebra je BCK algebra, pokud A*B je definován jako A∧¬B (A neznamená B).

Ohraničené komutativní BCK-algebry jsou přesně MV-algebry.

Reference

Angell, R. B. (1970), „Recenze několika článků o BCI, BCK-Algebras“, The Journal of Symbolic Logic, 35 (3): 465–466, doi:10.2307/2270728, ISSN 0022-4812, JSTOR 2270728
Arai, Yoshinari; Iséki, Kiyoshi; Tanaka, Shôtarô (1966), "Charakterizace BCI, BCK-algeber", Proc. Japan Acad., 42 (2): 105–107, doi:10,3792 / pja / 1195522126, PAN 0202572
Hoo, C.S. (2001) [1994], „BCH algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Hoo, C.S. (2001) [1994], „BCI algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Hoo, C.S. (2001) [1994], „BCK algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Iséki, K .; Tanaka, S. (1978), „Úvod do teorie BCK-algeber“, Matematika. Japon., 23: 1–26
Y. Huang, BCI-algebra, Science Press, Peking, 2006.
Imai, Y .; Iséki, K (1966), „Na axiomových systémech výrokových kalkulů XIV“, Proc. Japan Acad. Ser. A, Math. Sci., 42: 19–22, doi:10,3792 / pja / 1195522169
Iséki, K. (1966), „Algebra související s výrokovým počtem“, Proc. Japan Acad. Ser. A, Math. Sci., 42: 26–29, doi:10,3792 / pja / 1195522171