Efektová algebra - Effect algebra

Efektní algebry jsou algebraické struktury druhu zavedeného D. Foulisem a M. Bennettem, který bude sloužit jako rámec pro neostrá měření v kvantová mechanika.[1]

Efektová algebra se skládá z podkladové množiny A vybaven částečnou binární operací ⊞, unární operací (-)⊥a dva speciální prvky 0, 1, které platí pro následující vztahy:[2]

  • Binární operace je komutativní: if A ⊞ b je definováno, pak také je b ⊞ Aa jsou si rovni.
  • Binární operace je asociativní: pokud A ⊞ b a (A ⊞ b) ⊞ C jsou definovány, pak také jsou b ⊞ C a A ⊞ (b ⊞ C), a (A ⊞ b) ⊞ C = A ⊞ (b ⊞ C).
  • Nulový prvek se chová podle očekávání: 0 ⊞ A je vždy definována a rovná se A.
  • Unární operace je ortokomplementace: pro každou A ∈ A, A⊥ je jedinečný prvek A pro který A ⊞ A⊥ = 1.
  • A zákon nula jedna platí: pokud A Is 1 je tedy definována A = 0.

Každá efektová algebra nese přirozené objednat: definovat A ≤ b právě když existuje prvek C takhle A ⊞ C existuje a rovná seb. Definující axiomy efektových algeber zaručují, že ≤ je částečný řád.[3]

Příklady

Motivujícím příkladem efektové algebry je sada efektů na unitalu C * -algebra: elementy uspokojující . Operace přidání zapnuta je definováno, když a pak a⊞b = a + b. Involuce je dána .

Mezi další příklady patří libovolné ortomodulární poset (a tedy jakákoli booleovská algebra).

Druhy efektových algeber

Existují různé typy efektových algeber, které byly studovány.

  • Intervalové algebry které vznikají jako interval některých objednala Abelianova skupina .
  • Alvebry s konvexním efektem mít akci intervalu skutečné jednotky na algebře. Reprezentativní věta Guddera ukazuje, že všechny vznikají jako algebra s efektem intervalu skutečného uspořádaného vektorového prostoru.[4]
  • Algebry s mřížkovým efektem, kde struktura řádu tvoří mřížku.
  • Efektové algebry splňující Rieszova vlastnost rozkladu.[5]
  • An MV-algebra je přesně algebra s mřížkovým efektem s Rieszovou vlastností rozkladu.[6]
  • Algebry se sekvenčním účinkem mít další sekvenční produkt operace, která modeluje produkt Lüders na a C * -algebra.[7]
  • Účinek monoidů jsou monoidy v kategorii efektových algeber. Jsou to efektní algebry, které mají další asociativní unitalní distribuční multiplikační operaci.[8]

Reference

  1. ^ D. Foulis a M. Bennett. "Effect algebras and unsharp quantum logics", Nalezeno. Phys., 24(10):1331–1352, 1994.[je zapotřebí lepší zdroj ]
  2. ^ Frank Roumen, „Cohomology of effect algebras“ arXiv:1602.00567
  3. ^ Roumen, Frank (02.02.2016). "Kohomologie efektových algeber". Elektronické sborníky z teoretické informatiky. 236: 174–201. arXiv:1602.00567. doi:10.4204 / EPTCS.236.12. S2CID  16707878.
  4. ^ Gudder, Stanley (01.12.1999). "Konvexní struktury a algebry účinků". International Journal of Theoretical Physics. 38 (12): 3179–3187. doi:10.1023 / A: 1026678114856. ISSN  1572-9575. S2CID  115468918.
  5. ^ Pulmannova, Sylvia (01.09.1999). "Effect Algebras with the Riesz Decomposition Property and AF C * -Algebras". Základy fyziky. 29 (9): 1389–1401. doi:10.1023 / A: 1018809209768. ISSN  1572-9516. S2CID  117445132.
  6. ^ Foulis, D. J. (2000-10-01). "MV a Heyting Effect Algebras". Základy fyziky. 30 (10): 1687–1706. doi:10.1023 / A: 1026454318245. ISSN  1572-9516. S2CID  116763476.
  7. ^ Gudder, Stan; Greechie, Richard (01.02.2002). „Sekvenční produkty působící na algebry“. Zprávy o matematické fyzice. 49 (1): 87–111. doi:10.1016 / S0034-4877 (02) 80007-6. ISSN  0034-4877.
  8. ^ Jacobs, Bart; Mandemaker, Jorik (01.07.2012). „Coreflections in Algebraic Quantum Logic“. Základy fyziky. 42 (7): 932–958. doi:10.1007 / s10701-012-9654-8. ISSN  1572-9516.

externí odkazy