Seznam relativistických rovnic - List of relativistic equations

Následuje seznam často se vyskytujících rovnic v teorii speciální relativita.

Postuláty speciální relativity

Chcete-li odvodit rovnice speciální relativity, musíte začít dvěma postuláty:

1. Zákony fyziky jsou neměnné při transformacích mezi setrvačnými rámy. Jinými slovy, zákony fyziky budou stejné, ať už je testujete v rámci „v klidu“, nebo v rámci, který se pohybuje konstantní rychlostí vzhledem k „odpočinkovému“ rámci.
2. Rychlost světla ve vakuu je měřena jako stejná všemi pozorovateli v setrvačných rámcích.

Z těchto dvou postulátů vyplývá veškerá speciální relativita.

V následujícím textu je relativní rychlost proti mezi dvěma setrvačné rámy je omezen plně na X-směr, a Kartézský souřadnicový systém.

Kinematika

Lorentzova transformace

Následující zápisy se ve speciální relativitě používají velmi často:

Lorentzův faktor

${ displaystyle gamma = { frac {1} { sqrt {1- beta ^ {2}}}}}$

kde β = ${ displaystyle { frac {v} {c}}}$ a proti je relativní rychlost mezi dvěma setrvačné rámy.

Pro dva snímky v klidu γ = 1 a zvyšuje se s relativní rychlostí mezi dvěma setrvačnými snímky. Jak se relativní rychlost blíží rychlosti světla, γ → ∞.

Dilatace času (různé časy t a t ' ve stejné poloze X ve stejném inerciálním rámci)

${ displaystyle t '= gama t}$

Odvození dilatace času

Při použití výše uvedených postulátů zvažte vnitřek jakéhokoli vozidla (obvykle ilustrovaného vlakem) pohybujícího se rychlostí proti s ohledem na někoho, kdo stojí na zemi, když vozidlo projíždí. Uvnitř svítí světlo nahoru k zrcadlu na stropě, kde se světlo odráží zpět dolů. Pokud je výška zrcadla ha rychlost světla C, pak čas potřebný k tomu, aby světlo vyšlo a vrátilo se dolů, je: ${ displaystyle t = { frac {2h} {c}}}$ Situace pozorovatele na zemi je však velmi odlišná. Jelikož se vlak pohybuje pozorovatelem na zemi, zdá se, že se světelný paprsek pohybuje šikmo, nikoli přímo nahoru a dolů. Chcete-li si to představit, představte si světlo vyzařované v jednom bodě, poté nechejte vozidlo pohnout se, dokud světlo nenarazí na zrcadlo v horní části vozidla, a poté nechejte vlak pohnout se ještě více, dokud se světelný paprsek nevrátí do spodní části vozidla . Zdálo se, že se světelný paprsek pohyboval úhlopříčně s vlakem a potom šikmo dolů. Tato cesta pomůže vytvořit oboustranné trojúhelníky s výškou jedné ze stran a dvěma přímými částmi cesty, které jsou příslušnými přepony: ${ displaystyle c ^ {2} left ({ frac {t '} {2}} right) ^ {2} = h ^ {2} + v ^ {2} left ({ frac {t' } {2}} vpravo) ^ {2}}$ Přeskupení dostat ${ displaystyle t '}$: ${ displaystyle left ({ frac {t '} {2}} right) ^ {2} = { frac {h ^ {2}} {c ^ {2} -v ^ {2}}}}$ ${ displaystyle { frac {t '} {2}} = { frac {h} { sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}$ ${ displaystyle t '= { frac {2h} { sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}$ Vyjmutí faktoru Ca poté připojte t, jeden najde: ${ displaystyle t '= { frac {2h} {c}} { frac {1} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = { frac {t} { sqrt {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$ Toto je vzorec pro dilataci času: ${ displaystyle t '= gama t}$

V tomto příkladu čas měřený v rámu na vozidle, t, je známý jako správný čas. Správný čas mezi dvěma událostmi - jako je událost světla vyzařovaného na vozidlo a událost světla přijímaného na vozidlo - je doba mezi dvěma událostmi v rámci, kde k událostem dochází na stejném místě. Nahoře tedy emise i příjem světla probíhaly v rámu vozidla, takže čas, který pozorovatel v rámu vozidla změřil, měl správný čas.

Délka kontrakce (různé polohy X a X' ve stejný okamžik t ve stejném setrvačném rámci)

${ displaystyle ell '= { frac { ell} { gamma}}}$

Odvození kontrakce délky

Zvažte dlouhý vlak, pohybující se rychlostí proti vzhledem k zemi a jeden pozorovatel ve vlaku a jeden na zemi stojící vedle sloupku. Pozorovatel ve vlaku vidí, jak přední část vlaku míjí stanoviště, a pak nějaký čas t ′ později vidí konec vlaku projít stejným stanovištěm. Poté vypočítá délku vlaku takto: ${ displaystyle ell = vt ',}$ Pozorovatel na zemi, který provádí stejné měření, však dospěl k jinému závěru. Tento pozorovatel zjistí ten čas t prošel mezi přední částí vlaku kolem sloupku a zadní částí vlaku kolem sloupku. Protože tyto dvě události - projetí každého konce vlaku poštou - nastaly na stejném místě v rámci pozemního pozorovatele, čas, který tento pozorovatel měřil, je správný čas. Tak: ${ displaystyle ell '= vt = v left ({ frac {t'} { gamma}} right) = { frac { ell} { gamma}}}$

Toto je vzorec pro kontrakci délky. Protože existoval vhodný čas pro dilataci času, existuje a správná délka pro délkovou kontrakci, která v tomto případě je ℓ. Správná délka objektu je délka objektu v rámečku, ve kterém je objekt v klidu. Tato kontrakce také ovlivňuje pouze rozměry objektu, které jsou rovnoběžné s relativní rychlostí mezi objektem a pozorovatelem. Délky kolmé ke směru pohybu tedy nejsou ovlivněny délkovou kontrakcí.

Lorentzova transformace

${ displaystyle x '= gamma vlevo (x-vt vpravo)}$

${ displaystyle y '= y ,}$

${ displaystyle z '= z ,}$

${ displaystyle t '= gamma left (t - { frac {vx} {c ^ {2}}} right)}$

Odvození Lorentzovy transformace pomocí dilatace času a délky kontrakce

Nyní dosazení výsledku kontrakce délky do galileovské transformace (tj. X = ℓ), my máme: ${ displaystyle { frac {x '} { gamma}} = x-vt}$ to je: ${ displaystyle x '= gamma vlevo (x-vt vpravo)}$ a přechod z připraveného rámečku do nenaplněného rámečku: ${ displaystyle x = gamma left (x '+ vt' right)}$ Přechod od základního nátěru k základnímu nátěru byl proveden provedením proti v první rovnici záporné, a poté výměna aktivovaných proměnných za nenaplněné a naopak. Protože kontrakce délky neovlivňuje kolmé rozměry objektu, zůstávají následující stejné jako v Galileanově transformaci: ${ displaystyle y '= y ,}$ ${ displaystyle z '= z ,}$ Nakonec zjistit, jak t a t ′ transformovat, nahradit X↔X' transformace do inverzní: ${ displaystyle x = gamma left ( gamma left (x-vt right) + vt ' right)}$ ${ displaystyle x = gamma left ( gamma x- gamma vt + vt ' right)}$ ${ displaystyle x = gamma ^ {2} x- gamma ^ {2} vt + gamma vt ',}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt- gamma ^ {2} x + x ,}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt + x vlevo (1- gamma ^ {2} vpravo)}$ Zapojení hodnoty pro γ: ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt + x left (1 - { frac {1} {1- beta ^ {2}}} right)}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt + x left ({ frac {1- beta ^ {2}} {1- beta ^ {2}}} - { frac {1 } {1- beta ^ {2}}} vpravo)}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt-x vlevo ({ frac { beta ^ {2}} {1- beta ^ {2}}} vpravo)}$ ${ displaystyle gamma vt '= gamma ^ {2} vt- gamma ^ {2} beta ^ {2} x ,}$ Nakonec vydělením γproti: ${ displaystyle t '= gamma doleva (t- beta { frac {x} {c}} doprava)}$ Nebo častěji: ${ displaystyle t '= gamma left (t - { frac {vx} {c ^ {2}}} right)}$ A konverzace může být znovu získána změnou znaménka protia výměna neproniknutelných proměnných za jejich primované proměnné a naopak. Tyto transformace dohromady jsou Lorentzovy transformace: ${ displaystyle x '= gamma vlevo (x-vt vpravo)}$ ${ displaystyle y '= y ,}$ ${ displaystyle z '= z ,}$ ${ displaystyle t '= gamma left (t - { frac {vx} {c ^ {2}}} right)}$

Přidání rychlosti

${ displaystyle V '_ {x} = { frac {V_ {x} -v} {1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}}}}}$

${ displaystyle V '_ {y} = { frac {V_ {y}} { gamma vlevo (1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} vpravo)}} }$

${ displaystyle V '_ {z} = { frac {V_ {z}} { gamma vlevo (1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} vpravo)}} }$

Odvození sčítání rychlosti

Lorentzovy transformace platí také pro diferenciály, tak: ${ displaystyle dx '= gama vlevo (dx-vdt vpravo)}$ ${ displaystyle dy '= dy ,}$ ${ displaystyle dz '= dz ,}$ ${ displaystyle dt '= gamma vlevo (dt - { frac {vdx} {c ^ {2}}} vpravo)}$ Rychlost je dx / dt, tak ${ displaystyle { frac {dx '} {dt'}} = { frac { gamma levý (dx-vdt pravý)} { gamma levý (dt - { frac {vdx} {c ^ { 2}}} vpravo)}}}$ ${ displaystyle { frac {dx '} {dt'}} = { frac {dx-vdt} {dt - { frac {vdx} {c ^ {2}}}}}}$ ${ displaystyle { frac {dx '} {dt'}} = { frac {{ frac {dx} {dt}} - v} {1 - { frac {dx} {dt}} { frac { v} {c ^ {2}}}}}}$ Nyní nahrazujeme: ${ displaystyle V_ {x} = { frac {dx} {dt}} , quad V '_ {x} = { frac {dx'} {dt '}}}$ dává sčítání rychlosti (ve skutečnosti dole je odčítání, sčítání jen obrací znaménka PROTIX, PROTIy, a PROTIz kolem): ${ displaystyle V '_ {x} = { frac {V_ {x} -v} {1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}}}}}$ ${ displaystyle V '_ {y} = { frac {V_ {y}} { gamma vlevo (1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} vpravo)}} }$ ${ displaystyle V '_ {z} = { frac {V_ {z}} { gamma vlevo (1 - { frac {V_ {x} v} {c ^ {2}}} vpravo)}} }$ Rovněž jsou ovlivněny rychlosti ve směrech kolmých na změny rámu, jak je uvedeno výše. To je způsobeno dilatací času, jak je zapouzdřeno v dt/dt ′ proměna. The PROTI'y a PROTI'z rovnice byly odvozeny dělením příslušného prostorového diferenciálu (např. dy ′ nebo dz ') o časový rozdíl.

Metrické a čtyři vektory

V následujícím textu se používá tučné bezpatkové 4-vektory zatímco normální tučné písmo se používá pro běžné 3 vektory.

Vnitřní produkt (tj. pojem délka )

${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}} cdot { boldsymbol { mathsf {b}}} = eta ({ boldsymbol { mathsf {a}}}, { boldsymbol { mathsf { b}}})}$

kde ${ displaystyle eta}$ je známý jako metrický tenzor. Ve speciální relativitě je metrický tenzor Minkowského metrika:

${ displaystyle eta = { begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$

Časoprostorový interval

${ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} = { begin {pmatrix} cdt & dx & dy & dz end {pmatrix} } { begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} cdt dx dy dz end {pmatrix}}}$

Ve výše uvedeném ds² je známý jako časoprostorový interval. Tento vnitřní produkt je neměnný pod Lorentzovou transformací, tj.

${ displaystyle eta ({ boldsymbol { mathsf {a}}} ', { boldsymbol { mathsf {b}}}') = eta left ( Lambda { boldsymbol { mathsf {a}} }, Lambda { boldsymbol { mathsf {b}}} vpravo) = eta ({ boldsymbol { mathsf {a}}}, { boldsymbol { mathsf {b}}})}$

Znaménko metriky a umístění ct, ct ', CDT, a CDT ' termíny založené na čase se mohou lišit v závislosti na volbě autora. Například mnohokrát jsou termíny založené na čase umístěny na první místo ve čtyřech vektorech, přičemž prostorové termíny následují. Někdy také η je nahrazen -η, vytváření prostorových členů vytváří negativní příspěvky k bodovému součinu nebo časoprostorovému intervalu, zatímco časový člen přináší pozitivní příspěvek. Tyto rozdíly lze použít v jakékoli kombinaci, pokud je výběr provedených standardů plně sledován v průběhu prováděných výpočtů.

Lorentz se transformuje

Výše uvedenou transformaci souřadnic je možné vyjádřit pomocí matice. Pro zjednodušení může být nejlepší nahradit t, t ′, dt, a dt ′ s ct, ct ', CDT, a CDT ', který má rozměry vzdálenosti. Tak:

${ displaystyle x '= gamma x- gamma beta ct ,}$

${ displaystyle y '= y ,}$

${ displaystyle z '= z ,}$

${ displaystyle ct '= gamma ct- gamma beta x ,}$

pak v maticové formě:

${ displaystyle { begin {pmatrix} ct ' x' y ' z' end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} gamma & - gamma beta & 0 & 0 - gamma beta & gamma & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} ct x y z end {pmatrix}}}$

Vektory ve výše uvedené transformační rovnici jsou známé jako čtyři vektory, v tomto případě se jedná konkrétně o polohové čtyři vektory. Obecně platí, že ve speciální relativitě lze čtyři vektory transformovat z jednoho referenčního rámce do druhého následujícím způsobem:

${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}} '= Lambda { boldsymbol { mathsf {a}}}}$

Ve výše uvedeném ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}} '}$ a ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}}}$ jsou čtyři vektory, respektive transformované čtyři vektory, a Λ je transformační matice, která je pro danou transformaci stejná pro všechny čtyři vektory, které by člověk chtěl transformovat. Tak ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {a}}} '}$ Může to být čtyři vektor představující polohu, rychlost nebo hybnost a stejné the lze použít při transformaci mezi stejnými dvěma snímky. Nejobecnější Lorentzova transformace zahrnuje zesílení a rotace; komponenty jsou komplikované a transformace vyžaduje rotory.

Výsledky 4-vektory a invariantní snímky

Invariance a sjednocení fyzikálních veličin vznikají čtyři vektory.^[1] Vnitřní součin 4-vektoru se sebou samým se rovná skaláru (podle definice vnitřního součinu), a protože 4-vektory jsou fyzikální veličiny, jejich velikosti odpovídají také fyzikálním veličinám.

Vlastnost / účinek	3-vektor	4-vektor	Invariantní výsledek
Vesmírný čas Události	3 polohy: r = (X1, X2, X3) ${ displaystyle mathbf {r} cdot mathbf {r} ekviv r ^ {2} ekviv x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} , !}$	4 pozice: X = (ct, X1, X2, X3)	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {X}}} cdot { boldsymbol { mathsf {X}}} = left (c tau right) ^ {2} , !}$ ${ displaystyle { begin {aligned} & left (ct right) ^ {2} - left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2 } right) & = left (ct right) ^ {2} -r ^ {2} & = - chi ^ {2} = left (c tau right) ^ {2} end {zarovnáno}} , !}$ τ = správný čas χ = správná vzdálenost
Hybnost-energetická invariance	${ displaystyle mathbf {p} = gamma m mathbf {u} , !}$ 3-hybnost: p = (p1, p2, p3) ${ displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {p} ekviv p ^ {2} ekviv p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} , !}$	4-hybnost: P = (E / c, p1, p2, p3) ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {P}}} = m { boldsymbol { mathsf {U}}} , !}$	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {P}}} cdot { boldsymbol { mathsf {P}}} = left (mc right) ^ {2} , !}$ ${ displaystyle { begin {aligned} & left ({ frac {E} {c}} right) ^ {2} - left (p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2 } + p_ {3} ^ {2} right) & = left ({ frac {E} {c}} right) ^ {2} -p ^ {2} & = left ( mc right) ^ {2} end {zarovnáno}} , !}$ což vede k: ${ displaystyle E ^ {2} = levý (pc pravý) ^ {2} + levý (mc ^ {2} pravý) ^ {2} , !}$ E = celková energie m = invariantní hmotnost
Rychlost	3 rychlosti: u = (u1, u2, u3) ${ displaystyle mathbf {u} = { frac { mathrm {d} mathbf {r}} { mathrm {d} t}} , !}$	4 rychlosti: U = (U0, U1, U2, U3) ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {U}}} = { frac { mathrm {d} { boldsymbol { mathsf {X}}}} { mathrm {d} tau}} = gamma vlevo (c, mathbf {u} vpravo)}$	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {U}}} cdot { boldsymbol { mathsf {U}}} = c ^ {2} , !}$
Akcelerace	3-zrychlení: A = (A1, A2, A3) ${ displaystyle mathbf {a} = { frac { mathrm {d} mathbf {u}} { mathrm {d} t}} , !}$	4rychlost: A = (A0, A1, A2, A3) ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {A}}} = { frac { mathrm {d} { boldsymbol { mathsf {U}}}} { mathrm {d} tau}} = gamma vlevo (c { frac { mathrm {d} gamma} { mathrm {d} t}}, { frac { mathrm {d} gamma} { mathrm {d} t}} mathbf {u } + gamma mathbf {a} vpravo)}$	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {A}}} cdot { boldsymbol { mathsf {U}}} = 0 , !}$
Platnost	3 síly: F = (F1, F2, F3) ${ displaystyle mathbf {f} = { frac { mathrm {d} mathbf {p}} { mathrm {d} t}} , !}$	4-síla: F = (F0, F1, F2, F3) ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {F}}} = { frac { mathrm {d} { boldsymbol { mathsf {P}}}} { mathrm {d} tau}} = gamma m left (c { frac { mathrm {d} gamma} { mathrm {d} t}}, { frac { mathrm {d} gamma} { mathrm {d} t}} mathbf { u} + gamma mathbf {a} vpravo)}$	${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {F}}} cdot { boldsymbol { mathsf {U}}} = 0 , !}$

Dopplerův posun

Obecný dopplerovský posun:

${ displaystyle nu '= gama nu vlevo (1- beta cos theta vpravo)}$

Dopplerův posun pro vysílač a pozorovatele pohybující se přímo k sobě (nebo přímo pryč):

${ displaystyle nu '= nu { frac { sqrt {1- beta}} { sqrt {1+ beta}}}}$

Dopplerův posun pro vysílač a pozorovatele pohybující se ve směru kolmém k přímce, která je spojuje:

${ displaystyle nu '= gama nu}$

Odvození relativistického Dopplerova posunu

Pokud objekt vyzařuje paprsek světla nebo záření, bude frekvence, vlnová délka a energie tohoto světla nebo záření vypadat odlišně od pohybujícího se pozorovatele než od klidového s ohledem na emitor. Pokud předpokládáme, že se pozorovatel pohybuje vzhledem k emitoru podél osy x, pak se standardní Lorentzova transformace čtyř hybnosti, která zahrnuje energii, stane: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {E '} {c}} p' _ {x} p '_ {y} p' _ {z} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} gamma & - gamma beta & 0 & 0 - gamma beta & gamma & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} { frac {E } {c}} p_ {x} p_ {y} p_ {z} end {pmatrix}}}$ ${ displaystyle { frac {E '} {c}} = gamma { frac {E} {c}} - gamma beta p_ {x}}$ Teď když ${ displaystyle p_ {x} = | p | cos theta}$ kde θ je úhel mezi pX a ${ displaystyle { vec {p}}}$a připojením vzorců pro vztah frekvence k hybnosti a energii: ${ displaystyle { frac {h nu '} {c}} = gamma { frac {h nu} {c}} - gamma beta left Vert p right | cos theta = gamma { frac {h nu} {c}} - gamma beta { frac {h nu} {c}} cos theta}$ ${ Displaystyle nu '= gamma nu - gamma beta nu cos theta = gamma nu doleva (1- beta cos theta doprava)}$ Toto je vzorec pro relativistický dopplerovský posun, kde rozdíl v rychlosti mezi emitorem a pozorovatelem není na ose x. Existují dva speciální případy této rovnice. První je případ, kdy je rychlost mezi vysílačem a pozorovatelem podél osy x. V takovém případě θ = 0 a cos θ = 1, což dává: ${ displaystyle { begin {aligned} nu '& = gamma nu left (1- beta right) & = nu { frac {1} { sqrt {1- beta ^ { 2}}}} left (1- beta right) & = nu { frac {1} { sqrt { left (1- beta right) left (1+ beta right )}}} left (1- beta right) & = nu { frac { sqrt {1- beta}} { sqrt {1+ beta}}} end {zarovnáno}} }$ Toto je rovnice pro dopplerovský posun v případě, že rychlost mezi emitorem a pozorovatelem je podél osy x. Druhým zvláštním případem je situace, kdy relativní rychlost je kolmá k ose x, a tedy θ = π / 2, a cos θ = 0, což dává: ${ displaystyle nu '= gama nu}$ To je ve skutečnosti zcela analogické s dilatací času, protože frekvence je převrácená doba. Dopplerův posun pro vysílače a pozorovatele pohybující se kolmo na linii, která je spojuje, je tedy zcela způsoben účinky dilatace času.

Viz také

Reference

Zdroje

• Encyklopedie fyziky (2. vydání), R.G. Lerner, G.L. Trigg, vydavatelé VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Dynamika a relativitaJ.R. Forshaw, A.G.Smith, Wiley, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
• Relativita DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN  0-07-145545-0
• Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2.
• Úvod do mechaniky, D. Kleppner, R.J. Kolenkow, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-19821-9