Seznam číselných polí s číslem jedna - List of number fields with class number one - Wikipedia

Toto je neúplný seznam počet polí s číslem třídy 1.

Předpokládá se, že takových číselných polí je nekonečně mnoho, ale nebylo to prokázáno.[1]

Definice

The číslo třídy číselného pole je podle definice pořadí ideální třídní skupina jeho kruh celých čísel.

Pole s čísly má tedy třídu číslo 1 právě tehdy, pokud je jeho kruh celých čísel a hlavní ideální doména (a tedy a jedinečná faktorizační doména ). The základní teorém aritmetiky říká to Q má číslo třídy 1.

Pole kvadratického čísla

Hlavní článek: Pole kvadratického čísla

Jsou ve formě K. = Q(√d), pro celé číslo bez čtverců d.

Skutečná kvadratická pole

Hlavní článek: Skutečné kvadratické pole

K. se nazývá skutečný kvadratický, pokud d > 0. K. má třídu číslo 1 pro následující hodnotyd (sekvence A003172 v OEIS ):

  • 2*, 3, 5*, 6, 7, 11, 13*, 14, 17*, 19, 21, 22, 23, 29*, 31, 33, 37*, 38, 41*, 43, 46, 47, 53*, 57, 59, 61*, 62, 67, 69, 71, 73*, 77, 83, 86, 89*, 93, 94, 97*, ...[1][2]

(dokončete do d = 100)

*: The úzké číslo třídy je také 1 (viz související sekvence A003655 v OEIS).

Navzdory tomu, co by se zdálo být v případě těchto malých hodnot, na tomto seznamu se neobjevují všechna prvočísla shodná s 1 modulo 4, zejména pole Q(√d) pro d = 229 a d = 257 oba mají číslo třídy větší než 1 (ve skutečnosti rovno 3 v obou případech).[3] Hustota takových prvočísel, pro která Q(√d) má třídu číslo 1 se domníval, že je nenulová, a ve skutečnosti téměř 76%,[4]není však ani známo, zda existuje nekonečně mnoho skutečných kvadratických polí se třídou číslo 1.[1]

Imaginární kvadratická pole

Hlavní článek: Heegnerovo číslo

K. má číslo třídy 1 přesně pro následující záporné hodnoty d:

  • −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163.[1]

(Podle definice mají všechny také úzkou třídu číslo 1.)

Krychlová pole

Hlavní článek: Kubické pole

Úplně skutečné kubické pole

Prvních 60 zcela reálných kubických polí (seřazeno podle) diskriminující ) mají třídu číslo jedna. Jinými slovy, všechna kubická pole diskriminátoru mezi 0 a 1944 (včetně) mají třídu číslo jedna. Další zcela skutečné kubické pole (diskriminační 1957) má třídu číslo dvě. Polynomy definující zcela reálná kubická pole, která mají diskriminátory menší než 500 s třídou číslo jedna, jsou:[5]

  • X3 − X2 − 2X + 1 (diskriminační 49)
  • X3 − 3X - 1 (diskriminační 81)
  • X3 − X2 − 3X + 1 (diskriminační 148)
  • X3 − X2 − 4X - 1 (diskriminační 169)
  • X3 − 4X - 1 (diskriminační 229)
  • X3 − X2 − 4X + 3 (diskriminační 257)
  • X3 − X2 − 4X + 2 (diskriminační 316)
  • X3 − X2 − 4X + 1 (diskriminační 321)
  • X3 − X2 − 6X + 7 (diskriminační 361)
  • X3 − X2 − 5X - 1 (diskriminační 404)
  • X3 − X2 − 5X + 4 (diskriminační 469)
  • X3 − 5X - 1 (diskriminační 473)

Komplexní kubické pole

Všechna komplexní kubická pole s diskriminačním faktorem větším než −500 mají třídu číslo jedna, kromě polí s diskriminačními kódy −283, −331 a −491, která mají třídu číslo 2. Polynomy definující komplexní kubická pole, která mají třídu číslo jedna a diskriminační větší než −500 jsou:[5]

  • X3 − X2 + 1 (diskriminační −23)
  • X3 + X - 1 (diskriminační −31)
  • X3 − X2 + X + 1 (diskriminační −44)
  • X3 + 2X - 1 (diskriminační −59)
  • X3 − 2X - 2 (diskriminační −76)
  • X3 − X2 + X - 2 (diskriminační −83)
  • X3 − X2 + 2X + 1 (diskriminační −87)
  • X3 − X - 2 (diskriminační −104)
  • X3 − X2 + 3X - 2 (diskriminační −107)
  • X3 - 2 (diskriminační −108)
  • X3 − X2 - 2 (diskriminační −116)
  • X3 + 3X - 1 (diskriminační −135)
  • X3 − X2 + X + 2 (diskriminační −139)
  • X3 + 2X - 2 (diskriminační -140)
  • X3 − X2 − 2X - 2 (diskriminační -152)
  • X3 − X2 − X + 3 (diskriminační −172)
  • X3 − X2 + 2X - 3 (diskriminační −175)
  • X3 − X2 + 4X - 1 (diskriminační −199)
  • X3 − X2 + 2X + 2 (diskriminační -200)
  • X3 − X2 + X - 3 (diskriminační -204)
  • X3 − 2X - 3 (diskriminační -211)
  • X3 − X2 + 4X - 2 (diskriminační -212)
  • X3 + 3X - 2 (diskriminační -216)
  • X3 − X2 + 3 (diskriminační −231)
  • X3 − X - 3 (diskriminační −239)
  • X3 - 3 (diskriminační −243)
  • X3 + X - 6 (diskriminační −244)
  • X3 + X - 3 (diskriminační −247)
  • X3 − X2 - 3 (diskriminační -255)
  • X3 − X2 − 3X + 5 (diskriminační −268)
  • X3 − X2 − 3X - 3 (diskriminační −300)
  • X3 − X2 + 3X + 2 (diskriminační -307)
  • X3 − 3X - 4 (diskriminační - 324)
  • X3 − X2 − 2X - 3 (diskriminační - 327)
  • X3 − X2 + 4X + 1 (diskriminační -335)
  • X3 − X2 − X + 4 (diskriminační −339)
  • X3 + 3X - 3 (diskriminační -351)
  • X3 − X2 + X + 7 (diskriminační -356)
  • X3 + 4X - 2 (diskriminační −364)
  • X3 − X2 + 2X + 3 (diskriminační −367)
  • X3 − X2 + X - 4 (diskriminační −379)
  • X3 − X2 + 5X - 2 (diskriminační -411)
  • X3 − 4X - 5 (diskriminační −419)
  • X3 − X2 + 8 (diskriminační −424)
  • X3 − X - 8 (diskriminační -431)
  • X3 + X - 4 (diskriminační -436)
  • X3 − X2 − 2X + 5 (diskriminační −439)
  • X3 + 2X - 8 (diskriminační −440)
  • X3 − X2 − 5X + 8 (diskriminační −451)
  • X3 + 3X - 8 (diskriminační −459)
  • X3 − X2 + 5X - 3 (diskriminační −460)
  • X3 − 5X - 6 (diskriminační -472)
  • X3 − X2 + 4X + 2 (diskriminační −484)
  • X3 − X2 + 3X + 3 (diskriminační -492)
  • X3 + 4X - 3 (diskriminační −499)

Cyklomtomická pole

Hlavní článek: Cyklomtomické pole

Následuje kompletní seznam n pro které pole Q(ζn) má číslo třídy 1:[6]

  • 1 až 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.[7]

Na druhou stranu maximální skutečná podpole Q(cos (2π / 2n)) 2-výkonných cyklotomických polí Q(ζ2n) (kde n je kladné celé číslo) je známo, že mají číslo třídy 1 pro n≤8,[8] a předpokládá se, že mají třídu číslo 1 pro všechny n. Weber ukázal, že tato pole mají liché číslo třídy. V roce 2009 Fukuda a Komatsu ukázali, že počty tříd těchto polí nemají žádný primární faktor menší než 107,[9] a později vylepšil tuto hranici na 109.[10] Tato pole jsou n-th vrstvy cyklotomic Z2-rozšíření Q. Také v roce 2009 Morisawa ukázal, že čísla tříd vrstev cyklotomic Z3-rozšíření Q nemají žádný primární faktor menší než 104.[11] Coates nastolil otázku, zda u všech prvočísel p, každá vrstva cyklotomické Zp-rozšíření Q má číslo třídy 1.[Citace je zapotřebí ]

CM pole

Hlavní článek: Pole CM

Současné zobecnění případu imaginárních kvadratických polí a cyklotomických polí je případem pole CM K., tj naprosto imaginární kvadratické prodloužení a úplně skutečné pole. V roce 1974 Harold Stark domníval se, že existuje konečně mnoho polí CM třídy číslo 1.[12] Ukázal, že existuje konečně mnoho pevných titulů. Krátce poté, Andrew Odlyzko ukázal, že jich je jen konečně mnoho Galois CM pole třídy číslo 1.[13] V roce 2001 V. Kumar Murty ukázal, že ze všech polí CM, jejichž Galoisův uzávěr má řešitelnou Galoisovu skupinu, jen konečně mnoho z nich má třídu číslo 1.[14]

Úplný seznam 172 abelianských polí CM třídy číslo 1 stanovil na počátku 90. let Ken Yamamura a je k dispozici na stranách 915–919 jeho článku na toto téma.[15] Kombinace tohoto seznamu s prací Stéphana Louboutina a Ryotara Okazakiho poskytuje úplný seznam kvartických CM polí třídy číslo 1.[16]

Viz také

Poznámky

  1. ^ A b C d Kapitola I, oddíl 6, str. 37 z Neukirch 1999
  2. ^ Dembélé, Lassina (2005). "Explicitní výpočty Hilbertovy modulární formy na " (PDF). Exp. Matematika. 14 (4): 457–466. doi:10.1080/10586458.2005.10128939. ISSN  1058-6458. Zbl  1152.11328.
  3. ^ H. Cohen, Kurz výpočetní algebraické teorie čísel, GTM 138, Springer Verlag (1993), dodatek B2, s. 507
  4. ^ H. Cohen a H. W. Lenstra, Heuristika na třídních skupinách číselných polí, teorie čísel, Noordwijkerhout 1983, Proc. 13. Journées Arithmétiques, ed. H. Jager, přednáška. Poznámky v matematice. 1068, Springer-Verlag, 1984, s. 33—62
  5. ^ A b Tabulky jsou k dispozici ve zdrojovém kódu Pari
  6. ^ Washington, Lawrence C. (1997). Úvod do cyklomatomických polí. Postgraduální texty z matematiky. 83 (2. vyd.). Springer-Verlag. Věta 11.1. ISBN  0-387-94762-0. Zbl  0966.11047.
  7. ^ Všimněte si, že hodnoty n kongruentní na 2 modulo 4 jsou od té doby nadbytečné Q(ζ2n) = Q(ζn) když n je zvláštní.
  8. ^ J. C. Miller, čísla tříd zcela reálných polí a aplikace na problém s číslem třídy Weber, https://arxiv.org/abs/1405.1094
  9. ^ Fukuda, Takashi; Komatsu, Keiichi (2009). „Weberův problém s číslem třídy v cyklotomice -rozšíření ". Exp. Matematika. 18 (2): 213–222. doi:10.1080/10586458.2009.10128896. ISSN  1058-6458. PAN  2549691. Zbl  1189.11033.
  10. ^ Fukuda, Takashi; Komatsu, Keiichi (2011). „Weberův problém s číslem třídy v cyklotomice -rozšíření III ". Int. J. Teorie čísel. 7 (6): 1627–1635. doi:10.1142 / S1793042111004782. ISSN  1793-7310. PAN  2835816. Zbl  1226.11119.
  11. ^ Morisawa, Takayuki (2009). „Problém s číslem třídy v cyklotomice -rozšíření ". Tokio J. Math. 32 (2): 549–558. doi:10,3836 / tjm / 1264170249. ISSN  0387-3870. PAN  2589962. Zbl  1205.11116.
  12. ^ Stark, Harold (1974), „Některé účinné případy Brauer-Siegelovy věty“, Inventiones Mathematicae, 23 (2): 135–152, Bibcode:1974InMat..23..135S, doi:10.1007 / bf01405166, hdl:10338.dmlcz / 120573
  13. ^ Odlyzko, Andrew (1975), „Některé analytické odhady počtu tříd a diskriminujících osob“, Inventiones Mathematicae, 29 (3): 275–286, Bibcode:1975InMat..29..275O, doi:10.1007 / bf01389854
  14. ^ Murty, V. Kumar (2001), "Čísla tříd CM polí s řešitelným normálním uzavřením", Compositio Mathematica, 127 (3): 273–287, doi:10.1023 / A: 1017589432526
  15. ^ Yamamura, Ken (1994), „Stanovení imaginárních abelianských číselných polí s třídou číslo jedna“, Matematika výpočtu, 62 (206): 899–921, Bibcode:1994MaCom..62..899Y, doi:10.2307/2153549, JSTOR  2153549
  16. ^ Louboutin, Stéphane; Okazaki, Ryotaro (1994), „Stanovení všech nenormálních kvartických CM polí a všech neabelovských normálních oktických CM polí s třídou číslo jedna“, Acta Arithmetica, 67 (1): 47–62, doi:10,4064 / aa-67-1-47-62

Reference