Úzká skupina tříd - Narrow class group

v algebraická teorie čísel, úzká třídní skupina a pole s číslem K. je zdokonalení skupina tříd z K. který bere v úvahu některé informace o vložení K. do pole reálná čísla.

Formální definice

Předpokládejme to K. je konečné prodloužení z Q. Připomeňme, že obyčejná skupina skupin K. je definován jako

${ displaystyle C_ {K} = I_ {K} / P_ {K}, , !}$

kde Já_K. je skupina částečné ideály z K., a P_K. je skupina hlavních zlomkových ideálů K., tj. ideály formy aO_K. kde A je prvek K..

The úzká třídní skupina je definován jako kvocient

${ displaystyle C_ {K} ^ {+} = I_ {K} / P_ {K} ^ {+},}$

kam teď P_K.⁺ je skupina zcela pozitivní hlavní zlomkové ideály z K.; tj. ideály formy aO_K. kde A je prvek K. takové, že σ (A) je pozitivní za každé vložení

${ displaystyle sigma: K až mathbf {R}.}$

Použití

Skupina úzkých tříd je prominentní v teorii reprezentace celých čísel pomocí kvadratické formy. Příkladem je následující výsledek (Fröhlich a Taylor, kapitola V, věta 1.25).

Teorém. Předpokládejme to

${ displaystyle K = mathbf {Q} ({ sqrt {d}}),}$

kde d je celé číslo bez čtverců, a že úzká třídní skupina K. je triviální. Předpokládejme to

${ displaystyle { omega _ {1}, omega _ {2} } , !}$

je základem pro kruh celých čísel K.. Definujte kvadratickou formu

${ displaystyle q_ {K} (x, y) = N_ {K / mathbf {Q}} ( omega _ {1} x + omega _ {2} y)}$,

kde N_K./Q je norma. Pak prvočíslo p je ve formě

${ displaystyle p = q_ {K} (x, y) , !}$

pro některá celá čísla X a y kdyby a jen kdyby buď

${ displaystyle p mid d_ {K} , !,}$

nebo

${ displaystyle p = 2 quad { mbox {and}} quad d_ {K} equiv 1 { pmod {8}},}$

nebo

${ displaystyle p> 2 quad { mbox {a}} quad left ({ frac {d_ {K}} {p}} right) = 1,}$

kde d_K. je diskriminující z K., a

${ displaystyle left ({ frac {a} {b}} right)}$

označuje Legendární symbol.

Příklady

Například lze prokázat, že kvadratická pole Q(√−1), Q(√2), Q(√−3) všichni mají triviální úzkou skupinu tříd. Poté výběrem vhodných základen pro celá čísla každého z nich pole, výše uvedená věta znamená následující:

• Prime p je ve formě p = X² + y² pro celá čísla X a y kdyby a jen kdyby

${ displaystyle p = 2 quad { mbox {nebo}} quad p equiv 1 { pmod {4}}.}$

(Toto je známé jako Fermatova věta o součtech dvou čtverců.)

• Prime p je ve formě p = X² − 2y² pro celá čísla X a y kdyby a jen kdyby

${ displaystyle p = 2 quad { mbox {or}} quad p equiv 1,7 { pmod {8}}.}$

• Prime p je ve formě p = X² − xy + y² pro celá čísla X a y kdyby a jen kdyby

${ displaystyle p = 3 quad { mbox {nebo}} quad p equiv 1 { pmod {3}}.}$ (srov. Eisenstein prime )

Příklad, který ilustruje rozdíl mezi úzkou třídní skupinou a obvyklá skupina je případ Q(√6). To má triviální skupinu tříd, ale její úzká skupina tříd má pořadí 2. Protože skupina skupin je triviální, platí následující prohlášení:

• Prime p nebo jeho inverzní -p je ve formě ± str = X² - 6y² pro celá čísla X a y kdyby a jen kdyby

${ displaystyle p = 2 quad { mbox {or}} quad p = 3 quad { mbox {or}} quad left ({ frac {6} {p}} right) = 1. }$

Toto tvrzení je však nepravdivé, pokud se zaměříme pouze na p a ne -p (a je ve skutečnosti dokonce falešný pro p = 2), protože úzká skupina tříd je netriviální. Výrok, který klasifikuje pozitivní p je následující:

• Prime p je ve formě p = X² - 6y² pro celá čísla X a y kdyby a jen kdyby p = 3 nebo

${ displaystyle left ({ frac {6} {p}} right) = 1 quad { mbox {and}} quad left ({ frac {-2} {p}} right) = 1.}$

(Vzhledem k tomu, že první výrok umožňuje prvočísla ${ displaystyle p equiv 1,5,19,23 { pmod {24}}}$, druhý povoluje pouze prvočísla ${ displaystyle p equiv 1,19 { pmod {24}}}$.)

Viz také

• Skupina tříd
• Kvadratická forma

Reference

• A. Fröhlich a M. J. Taylor, Algebraická teorie čísel (str. 180), Cambridge University Press, 1991.