Sada Kakeya - Kakeya set

Jehla zobrazena rotující uvnitř a deltoidní. V každé fázi jeho rotace (kromě případů, kdy je koncový bod na vrcholu deltoidu) je jehla v kontaktu s deltoidem ve třech bodech: dva koncové body (modrý) a jeden tečný bod (černý). Střed jehly (červený) popisuje kruh s průměrem rovným polovině délky jehly.

v matematika, a Sada Kakeyanebo Sada besicovitch, je sada bodů v Euklidovský prostor který obsahuje jednotku úsečka v každém směru. Například a disk o poloměru 1/2 v Euklidovské letadlo nebo koule o poloměru 1/2 v trojrozměrném prostoru tvoří sadu Kakeya. Velká část výzkumu v této oblasti studovala problém, jak malé mohou být takové sady. Besicovitch ukázal, že existují besicovitchovské sady změřit nulu.

A Sada jehel Kakeya (někdy také známý jako Kakeya set) je (Besicovitch) soubor v rovině se silnější vlastností, že jednotkový úsečkový segment lze v něm otáčet nepřetržitě o 180 stupňů a vracet se do původní polohy s obrácenou orientací. Disk o poloměru 1/2 je opět příkladem sady jehel Kakeya.

Problém s jehlou Kakeya

The Problém s jehlou Kakeya ptá se, zda existuje minimální oblast regionu D v rovině, ve které lze jehlu jednotkové délky otočit o 360 °. Tato otázka byla poprvé položena, protože konvexní regiony podle Sōichi Kakeya  (1917 ). Minimální plochy pro konvexní množiny je dosaženo pomocí rovnostranný trojúhelník výšky 1 a plochy 1 /√3, tak jako Kamarád ukázal.^[1]

Kakeya Zdá se, že navrhl, aby Kakeya set D minimální plochy, bez omezení konvexnosti, by bylo třícípé deltoidní tvar. To je však nepravdivé; existují menší nekonvexní sady Kakeya.

Besicovitch soupravy

„Klíčící“ metoda pro konstrukci Kakeyovy sady malé míry. Zde jsou uvedeny dva možné způsoby rozdělení našeho trojúhelníku a překrývání dílků, aby se získala menší množina, první, pokud použijeme pouze dva trojúhelníky, a druhý, pokud použijeme osm. Všimněte si, jak malé jsou velikosti konečných obrázků ve srovnání s původním počátečním číslem.

Besicovitch dokázal ukázat, že pro oblast takové oblasti neexistuje dolní mez> 0 D, ve kterém lze otočit jehlu jednotkové délky.^[2] Toto vycházelo z jeho dřívější práce, na rovinných sadách, které obsahují segment jednotky v každé orientaci. Taková sada se nyní nazývá a Sada besicovitch. Besicovitchova práce ukazující takový soubor mohla být libovolně malá opatření byl z roku 1919. Problém mohli analytici zvažovat už dříve.

Jeden způsob konstrukce sady Besicovitch (viz obrázek s odpovídajícími ilustracemi) je po něm znám jako „Perronův strom“ Oskar Perron kdo dokázal zjednodušit Besicovitchovu původní konstrukci:^[3] vezměte trojúhelník s výškou 1, rozdělte jej na dvě části a překládejte oba kusy přes sebe tak, aby se jejich základny v nějakém malém intervalu překrývaly. Pak bude mít tento nový údaj zmenšenou celkovou plochu.

Předpokládejme, že náš trojúhelník rozdělíme na osm dílčích trojúhelníků. U každé po sobě jdoucí dvojice trojúhelníků proveďte stejnou překrývající se operaci, kterou jsme popsali dříve, abyste získali čtyři nové tvary, z nichž každý se skládá ze dvou překrývajících se trojúhelníků. Dále překrývejte po sobě jdoucí páry těchto nových tvarů částečným posunutím jejich základen přes sebe, takže nám zůstanou dva tvary a nakonec tyto dva překryjeme stejným způsobem. Nakonec dostaneme tvar, který vypadá trochu jako strom, ale s oblastí mnohem menší než náš původní trojúhelník.

Chcete-li sestrojit ještě menší množinu, rozdělte trojúhelník například na 2ⁿ trojúhelníky, každý o délce základny 2⁻ⁿa provádět stejné operace jako předtím, když jsme trojúhelník rozdělili dvakrát a osmkrát. Pokud se jak množství překrytí děláme na každém trojúhelníku, tak i číslo n rozdělení našeho trojúhelníku jsou dostatečně velké, můžeme vytvořit strom oblasti tak malý, jak se nám líbí. Sadu Besicovitch lze vytvořit kombinací tří rotací stromu Perron vytvořeného z rovnostranného trojúhelníku.

Dalším přizpůsobením této metody můžeme sestrojit posloupnost množin, jejichž průsečíkem je Besicovitchova množina nulové míry. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je pozorovat, že pokud máme jakýkoli rovnoběžník, jehož dvě strany jsou na přímkách X = 0 a X = 1 pak můžeme na těchto řádcích najít svazek rovnoběžníků také se stranami, jejichž celková plocha je libovolně malá a které obsahují překlady všech řádků spojujících bod na X = 0 do bodu X = 1, které jsou v původním rovnoběžníku. Vyplývá to z nepatrné variace výše uvedené Besicovichovy konstrukce. Opakováním tohoto můžeme najít posloupnost sad

${ displaystyle K_ {0} supseteq K_ {1} supseteq K_ {2} cdots}$

každý konečné spojení rovnoběžníků mezi řádky X = 0 a X = 1, jehož oblasti mají sklon k nule a každá z nich obsahuje překlady všech spojujících řádků X = 0 a X = 1 na jednotku čtverce. Průsečík těchto množin je pak množina míry 0 obsahující překlady všech těchto řádků, takže spojení dvou kopií této křižovatky je míra 0 Besicovichova množina.

Kromě metody „rašení“ existují i ​​jiné metody pro konstrukci besicovičských sad nulové míry. Například, Kahane používá Cantorovy sady postavit Besicovitchovu sadu nulové míry v dvourozměrné rovině.^[4]

Sada jehel Kakeya vyrobená ze stromů Perron.

Sady jehel Kakeya

Použitím triku Kamarád, známý jako Pál se připojí (vzhledem k tomu, že dvě rovnoběžné čáry lze libovolným segmentem jednotkové čáry pohybovat kontinuálně z jednoho na druhý na sadě libovolné malé míry), ze sady Besicovitch lze vytvořit sadu, ve které lze segment jednotkové čáry nepřetržitě otáčet o 180 stupňů skládající se z Perronových stromů.^[5]

V roce 1941 H. J. Van Alphen^[6] ukázal, že existují libovolné malé sady jehel Kakeya uvnitř kruhu s poloměrem 2 + ε (libovolné ε> 0). Jednoduše připojeno Sady jehel Kakeya s menší plochou než deltoid byly nalezeny v roce 1965. Melvin Bloom a I. J. Schoenberg samostatně představené sady jehel Kakeya s blížícími se oblastmi ${ displaystyle { tfrac { pi} {24}} (5-2 { sqrt {2}})}$, Bloom-Schoenbergovo číslo. Schoenberg se domníval, že toto číslo je dolní mezí pro oblast jednoduše spojených sad jehel Kakeya. V roce 1971 však F. Cunningham^[7] ukázal, že vzhledem k ε> 0 existuje jednoduše spojená Kakeya jehla o ploše menší než ε obsažená v kruhu o poloměru 1.

Ačkoli existují sady jehel Kakeya libovolně malé kladné míry a sady Besicovich míry 0, neexistují žádné sady jehel Kakeya míry 0.

Kakeya dohad

Prohlášení

Stejná otázka, jak malé by mohly být tyto besicovitchovské soupravy, byla položena ve vyšších dimenzích, což vedlo k řadě domněnek známých souhrnně jako Kakeya dohady, a pomohli zahájit pole matematiky známé jako teorie geometrických měr. Zejména pokud existují Besicovitchovy sady měr nula, mohly by také mít s-dimenzionální Hausdorffovo opatření nula pro některé dimenze menší než rozměr prostoru, ve kterém leží? Tato otázka vede k následující domněnce:

Kakeya nastavil domněnku: Definujte a Sada besicovitch v Rⁿ být sada, která obsahuje segment jednotkové čáry v každém směru. Je pravda, že takové sady nutně mají Hausdorffova dimenze a Minkowského rozměr rovná n?

Je známo, že to platí pro n = 1, 2, ale ve vyšších dimenzích jsou známy pouze částečné výsledky.

Kakeya maximální funkce

Moderní způsob, jak přistupovat k tomuto problému, je zvážit určitý typ maximální funkce, které konstruujeme následovně: Označme Sⁿ⁻¹ ⊂ Rⁿ být jednotkovou sférou n-rozměrný prostor. Definovat ${ displaystyle T_ {e} ^ { delta} (a)}$ být válec délky 1, poloměr δ> 0, vystředěný v bodě A ∈ Rⁿ, a jehož dlouhá strana je rovnoběžná se směrem jednotkového vektoru E ∈ Sⁿ⁻¹. Pak na a místně integrovatelný funkce F, definujeme Kakeya maximální funkce z F být

${ displaystyle f _ {*} ^ { delta} (e) = sup _ {a in mathbf {R} ^ {n}} { frac {1} {m (T_ {e} ^ { delta } (a))}} int _ {T_ {e} ^ { delta} (a)} | f (y) | dm (y)}$

kde m označuje n-dimenzionální Lebesgueovo opatření. Všimněte si toho ${ displaystyle f _ {*} ^ { delta}}$ je definován pro vektory E v kouli Sⁿ⁻¹.

Pak existuje domněnka pro tyto funkce, která, pokud je pravdivá, bude znamenat domněnku množiny Kakeya pro vyšší dimenze:

Kakeya domněnka maximální funkce: Pro všechna ε> 0 existuje konstanta C_ε > 0 takové, že pro jakoukoli funkci F a všechny δ> 0, (viz lp prostor pro notaci)

${ displaystyle left | f _ {*} ^ { delta} right | _ {L ^ {n} ( mathbf {S} ^ {n-1})} leqslant C _ { epsilon} delta ^ {- epsilon} | f | _ {L ^ {n} ( mathbf {R} ^ {n})}.}$

Výsledek

Některé výsledky dokazující domněnku Kakeya jsou následující:

• Kakeya domněnka platí pro n = 1 (triviálně) a n = 2 (Davies^[8]).
• V každém n-dimenzionální prostor, Wolff^[9] ukázal, že rozměr sady Kakeya musí být alespoň (n+2)/2.
• V roce 2002 Katz a Tao^[10] vylepšil Wolffův závazek ${ displaystyle (2 - { sqrt {2}}) (n-4) +3}$, což je lepší pro n > 4.
• V roce 2000 Katz, Laba a Tao^[11] dokázal, že Minkowského rozměr sad Kakeya ve 3 rozměrech je přísně větší než 5/2.
• V roce 2000 Jean Bourgain připojil problém Kakeya k aritmetická kombinatorika^[12][13] což zahrnuje harmonická analýza a teorie aditivních čísel.
• V roce 2017 Katz a Zahl^[14] vylepšil dolní mez na Hausdorffova dimenze sad Besicovitch ve 3 rozměrech až ${ displaystyle 5/2 + epsilon}$ pro absolutní konstantu ${ displaystyle epsilon> 0}$.

Aplikace k analýze

Bylo poněkud překvapivě prokázáno, že tyto dohady souvisejí s řadou otázek v jiných oblastech, zejména v harmonická analýza. Například v roce 1971 Charles Fefferman^[15] dokázal použít konstrukci Besicovitchovy sady, aby ukázal, že v rozměrech větších než 1 se zkrácené Fourierovy integrály převzaté kuličkami se středem v počátku s poloměry inklinujícími k nekonečnu nemusí sbíhat L^str norma když str ≠ 2 (to je na rozdíl od jednorozměrného případu, kdy se takové zkrácené integrály sbíhají).

Analogy a zobecnění problému Kakeya

Sady obsahující kruhy a koule

Analogy problému Kakeya zahrnují zvažování množin obsahujících obecnější tvary než čáry, například kruhy.

• V roce 1997^[16] a 1999,^[17] Wolff dokázal, že množiny obsahující kouli každého poloměru musí mít celou dimenzi, tj. Dimenze se rovná dimenzi prostoru, ve kterém leží, a dokázal to prokázáním hranic kruhové maximální funkce analogické maximální funkci Kakeya .

• Předpokládalo se, že existují sady obsahující kouli kolem každého bodu nulové míry. Výsledky Elias Stein^[18] se ukázalo, že všechny takové sady musí mít pozitivní míru, když n ≥ 3 a Marstrand^[19] pro případ se ukázalo totéž n = 2.

Sady obsahující k-dimenzionální disky

Zevšeobecnění Kakeya domněnky je vzít v úvahu množiny, které obsahují místo segmentů čar v každém směru, ale řekněme, části k-dimenzionální podprostory. Definovat (n, k) -Besicovitch set K. být kompaktní Rⁿ obsahující překlad všech k-dimenzionální jednotkový disk, který má Lebesgueovu nulu. To je, pokud B označuje jednotkovou kouli vycentrovanou na nulu, pro každou k-rozměrný podprostor P, tady existuje X ∈ Rⁿ takový, že (P ∩ B) + X ⊆ K.. Proto, (n, 1) -Besicovitchova sada je standardní sada Besicovitch popsaná výše.

(n, k) -Besicovitch dohad: Nejsou k dispozici žádné (n, k) -Besicovitch sady pro k > 1.

V roce 1979 Marstrand^[20] prokázal, že neexistují žádné (3, 2) -Besicovitchovy sady. Přibližně ve stejnou dobu však Sokolník^[21] dokázal, že neexistovaly (n, k) -Besicovitch sady pro 2k > n. Nejlepší den je svázán Bourgainem,^[22] kdo dokázal, že žádné takové množiny neexistují, když 2^k−1 + k > n.

Kakeya zapadá do vektorových prostorů nad konečnými poli

V roce 1999 Wolff představoval konečné pole analogicky k problému Kakeya, v naději, že techniky řešení této domněnky by mohly být přeneseny do euklidovského případu.

Konečná pole Kakeya dohad: Nechte F být konečným polem, nechť K. ⊆ Fⁿ být sadou Kakeya, tj. pro každý vektor y ∈ Fⁿ tady existuje X ∈ Fⁿ takhle K. obsahuje řádek {X + ty : t ∈ F}. Pak sada K. má velikost alespoň C_n|F|ⁿ kde C_n> 0 je konstanta, na které záleží pouze n.

Zeev Dvir prokázal tuto domněnku v roce 2008 a ukázal, že toto prohlášení platí pro C_n = 1/n!.^[23][24] Ve svém důkazu si všiml, že jakýkoli polynom v n proměnné stupně menší než |F| zmizení na sadě Kakeya musí být shodně nulové. Na druhou stranu polynomy v n proměnné stupně menší než |F| tvoří vektorový prostor dimenze

${ displaystyle {| mathbf {F} | + n-1 vyberte n} geq { frac {| mathbf {F} | ^ {n}} {n!}}.}$

Proto existuje alespoň jeden netriviální polynom stupně menšího než |F| který zmizí v dané sadě s menším než tímto počtem bodů. Kombinace těchto dvou pozorování ukazuje, že sady Kakeya musí mít alespoň |F|ⁿ/n! bodů.

Není jasné, zda se tyto techniky rozšíří na prokázání původní domněnky Kakeya, ale tento důkaz dodává důvěryhodnost původní domněnce tím, že činí nepravděpodobné v podstatě algebraické protiklady. Dvir nedávno napsal článek v průzkumu^{[Aktualizace]} pokrok v problému konečného pole Kakeya a jeho vztah k extraktory náhodnosti.^[25]

Viz také

• Nikodym set

Poznámky

Reference

• Besicovitch, Abram (1963). „Kakeya problém“. Americký matematický měsíčník. 70 (7): 697–706. doi:10.2307/2312249. JSTOR  2312249. PAN  0157266.
• Dvir, Zeev (2009). "O velikosti Kakeya zapadá do konečných polí". Journal of the American Mathematical Society. 22 (4): 1093–1097. arXiv:0803.2336. Bibcode:2009JAMS ... 22.1093D. doi:10.1090 / S0894-0347-08-00607-3. PAN  2525780.
• Falconer, Kenneth J. (1985). Geometrie fraktálních sad. Cambridge Tracts v matematice. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-25694-1. PAN  0867284.
• Kakeya, Soichi (1917). "Některé problémy ohledně maxima a minima týkající se oválu". Vědecké zprávy o tohoku. 6: 71–88.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Katz, Nets Hawk; Laba, Izabella; Tao, Terence (2000). „Vyvstává vylepšená vazba na minkowského rozměr Besicovitch ${ displaystyle mathbf {R} ^ {3}}$" (PDF). Annals of Mathematics. 152 (2): 383–446. doi:10.2307/2661389. JSTOR  2661389. PAN  1804528.

• Wolff, Thomas (1999). "Nedávné práce spojené s problémem Kakeya". V Rossi, Hugo (ed.). Vyhlídky v matematice: pozvané přednášky u příležitosti 250. výročí Princetonské univerzity. Providence, RI: American Mathematical Society. str. 129–162. ISBN  978-0-8218-0975-4. PAN  1660476.
• Wolff, Thomas (2003). Laba, Izabella; Shubin, Carol (eds.). Přednášky o harmonické analýze. Série univerzitních přednášek. 29. S předmluvou Charlese Feffermana a předmluvou Izabelly Łabové. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090 / ulect / 029. ISBN  0-8218-3449-5. PAN  2003254.

externí odkazy

• Kakeya na University of British Columbia
• Besicovitch na UCLA
• Kakeya problém s jehlou na mathworld
• Dvirův důkaz dohadu konečného pole Kakeya na blogu Terence Tao
• Úvod do sad Besicovitch-Kakeya