Zvláštní případy Apollónova problému - Special cases of Apollonius problem - Wikipedia

tento článek chybí informace o předběžných výsledcích. Rozbalte článek, aby obsahoval tyto informace. Další podrobnosti mohou existovat na internetu diskusní stránka. (Listopadu 2011)

v Euklidovská geometrie, Apolloniův problém je sestrojit všechny kružnice, které jsou tečné ke třem daným kružnicím. Zvláštní případy Apollónova problému jsou ty, ve kterých alespoň jeden z daných kruhů je bod nebo přímka, tj. je kruh s nulovým nebo nekonečným poloměrem. Devět typů takových omezující případy Apolloniovým problémem je sestrojit kružnice tečné k:

1. tři body (označené PPP, obvykle 1 řešení)
2. tři řádky (označené LLL, obecně 4 řešení)
3. jedna čára a dva body (označené LPP, obecně 2 řešení)
4. dvě čáry a bod (označený LLP, obecně 2 řešení)
5. jeden kruh a dva body (označené CPP, obecně 2 řešení)
6. jedna kružnice, jedna přímka a bod (označeno CLP, obecně 4 řešení)
7. dva kruhy a bod (označený CCP, obecně 4 řešení)
8. jeden kruh a dvě čáry (označené CLL, obecně 8 řešení)
9. dvě kružnice a čára (označeno CCL, obecně 8 řešení)

V jiném typu omezujícího případu mohou mít tři dané geometrické prvky zvláštní uspořádání, například konstrukci kružnice tečné ke dvěma rovnoběžným čarám a jedné kružnici.

Historický úvod

Jako většina poboček matematika, Euklidovská geometrie se zabývá důkazy obecných pravd od minima postuláty. Například jednoduchý důkaz by ukázal, že alespoň dva úhly rovnoramenný trojúhelník jsou rovny. Jedním z důležitých typů důkazů v euklidovské geometrii je ukázat, že geometrický objekt lze zkonstruovat pomocí a kompas a neoznačenou přímku; objekt lze postavit právě tehdy, pokud (iff) (vezme se něco, co není vyšší než druhá odmocnina). Proto je důležité určit, zda lze objekt zkonstruovat pomocí kompasu a pravítka, a pokud ano, jak jej lze zkonstruovat.

Euklid vyvinul řadu konstrukcí s kompasem a pravítkem. Mezi příklady patří: normální mnohoúhelníky tak jako Pentagon a šestiúhelník, čára rovnoběžná s jinou, která prochází daným bodem atd. Mnoho růžových oken dovnitř Gotické katedrály, stejně jako některé Keltské uzly, lze navrhovat pouze pomocí euklidovských konstrukcí. Některé geometrické konstrukce však u těchto nástrojů nejsou možné, včetně sedmiúhelník a trisekující úhel.

Apollonius přispělo mnoha konstrukcemi, jmenovitě nalezení kruhů, které jsou tečny ke třem geometrickým prvkům současně, přičemž „prvky“ mohou být bod, čára nebo kružnice.

Pravidla euklidovských konstrukcí

V euklidovských konstrukcích je povoleno pět operací:

1. Nakreslete čáru dvěma body
2. Nakreslete kružnici bodem s daným středem
3. Najděte průsečík dvou čar
4. Najděte průsečíky dvou kruhů
5. Najděte průsečíky přímky a kružnice

Počáteční prvky v geometrické konstrukci se nazývají „danosti“, jako je například daný bod, čára nebo kružnice.

Příklad 1: Kolmá přímka

Sestavení kolmé přímky úsečky mezi dvěma body vyžaduje dva kruhy, každý se středem v koncovém bodě a procházející druhým koncovým bodem (operace 2). Průsečíky těchto dvou kružnic (operace 4) jsou ve stejné vzdálenosti od koncových bodů. Přímka, která prochází nimi (operace 1), je kolmá půlící čára.

Příklad 2: Úhlová osa

Generovat přímku, která půlí úhel mezi dvěma danými paprsky^{[je zapotřebí objasnění ]} vyžaduje kruh libovolného poloměru se středem v průsečíku P dvou přímek (2). Průsečíky této kružnice se dvěma danými přímkami (5) jsou T1 a T2. Dva kruhy se stejným poloměrem, vystředěné na T1 a T2, se protínají v bodech P a Q. Přímka procházející P a Q (1) je úhlová přímka. Paprsky mají jeden úhelník; řádky mají dvě, navzájem kolmé.

Předběžné výsledky

Několik základních výsledků je užitečných při řešení zvláštních případů Apollóniova problému. Všimněte si, že přímku a bod lze považovat za kruhy nekonečně velkého a nekonečně malého poloměru.

• Kružnice je tečna k bodu, pokud prochází bodem, a tečna k přímce, pokud se protínají v jednom bodě P nebo je-li čára kolmá na poloměr nakreslený od středu kruhu k P.
• Kruhy tečny ke dvěma daným bodům musí ležet na kolmé přímce.
• Kruhy tečné ke dvěma daným přímkám musí ležet na úhlové přímce.
• Tečná čára ke kružnici z daného bodu nakreslí půlkruh se středem ve středu mezi středem kruhu a daným bodem.
• Síla bodu a harmonický průměr^{[je zapotřebí objasnění ]}
• Radikální osa dvou kruhů je množina bodů se stejnou tečnou nebo obecněji se stejnou silou.
• Kruhy mohou být obráceny do čar a kruhy do kruhů.^{[je zapotřebí objasnění ]}
• Pokud jsou dva kruhy vnitřně tečna, zůstanou tak, pokud se jejich poloměry zvětší nebo zmenší o stejnou částku. Naopak, pokud jsou dva kruhy navenek tečna, zůstanou tak, pokud se jejich poloměry změní o stejnou částku v opačných směrech, jeden se zvětšuje a druhý zmenšuje.

Typy řešení

Typ 1: Tři body

Problémy s PPP mají obvykle jediné řešení. Jak je uvedeno výše, pokud kruh prochází dvěma danými body P₁ a P₂, jeho střed musí ležet někde na kolmé přímce dvou bodů. Pokud tedy kruh řešení prochází třemi danými body P₁, P₂ a P₃, jeho střed musí ležet na kolmých půlících rovinách ${ displaystyle { overline { mathbf {P} _ {1} mathbf {P} _ {2}}}}$, ${ displaystyle { overline { mathbf {P} _ {1} mathbf {P} _ {3}}}}$ a ${ displaystyle { overline { mathbf {P} _ {2} mathbf {P} _ {3}}}}$. Alespoň dva z těchto půlen se musí protínat a jejich průsečík je středem kružnice řešení. Poloměr kružnice řešení je vzdálenost od tohoto středu k kterémukoli ze tří daných bodů.

Typ 2: Tři řádky

Problémy s CŽV obecně nabízejí 4 řešení. Jak je znázorněno výše, je-li kružnice tečná ke dvěma daným čarám, její střed musí ležet na jedné ze dvou čar, které rozdělují úhel mezi dvěma danými čarami. Pokud je tedy kružnice tečná ke třem daným čarám L₁, L₂, a L₃, jeho střed C musí být umístěn na průsečíku půlících čar tří daných čar. Obecně existují čtyři takové body, které poskytují čtyři různá řešení problému LLL Apollonius. Poloměr každého řešení je určen vyhledáním bodu tečnosti T, což lze provést výběrem jednoho ze tří průsečíků P mezi danými řádky; a nakreslení kruhu se středem ve středu C a P o průměru rovném vzdálenosti mezi C a P. Průsečíky této kružnice s protínajícími se danými úsečkami jsou dva body tečnosti.

Typ 3: Jeden bod, dvě čáry

Problémy s PLL mají obvykle 2 řešení. Jak je znázorněno výše, je-li kružnice tečná ke dvěma daným čarám, její střed musí ležet na jedné ze dvou čar, které rozdělují úhel mezi dvěma danými čarami. Podle symetrie, pokud takový kruh prochází daným bodem P, musí také projít bodem Q to je "zrcadlový obraz" z P o úhlové přímce. Dva kruhy řešení procházejí oběma P a Q, a jejich radikální osa je přímka spojující tyto dva body. Zvažte bod G ve kterém radikální osa protíná jednu ze dvou daných linií. Protože každý bod na radikální ose má stejnou sílu vzhledem ke každé kružnici, vzdálenosti ${ displaystyle { overline { mathbf {GT} _ {1}}}}$ a ${ displaystyle { overline { mathbf {GT} _ {2}}}}$ k tečným bodům řešení T₁ a T₂, jsou si navzájem rovni a produktu

${ displaystyle { overline { mathbf {GP}}} cdot { overline { mathbf {GQ}}} = { overline { mathbf {GT} _ {1}}} cdot { overline { mathbf {GT} _ {1}}} = { overline { mathbf {GT} _ {2}}} cdot { overline { mathbf {GT} _ {2}}}}$

Tedy vzdálenosti ${ displaystyle { overline { mathbf {GT} _ {1-2}}}}$ jsou stejné jako geometrický průměr z ${ displaystyle { overline { mathbf {GP}}}}$ a ${ displaystyle { overline { mathbf {GQ}}}}$. Z G a tato vzdálenost, tečné body T₁ a T₂ Může být nalezeno. Potom jsou obě kružnice řešení kruhy, které procházejí třemi body (P, Q, T₁) a (P, Q, T₂).

Typ 4: Dva body, jedna čára

Problémy s PPL mají obecně 2 řešení. Pokud linka m protaženy danými body P a Q je rovnoběžná s daným řádkem l, tečný bod T kruhu s l se nachází na křižovatce kolmého půlící osy ${ displaystyle { overline {PQ}}}$ s l. V takovém případě je jedinou kružnicí řešení kruh, který prochází třemi body P, Q a T.

Pokud linka m je ne rovnoběžně s daným řádkem l, pak se protíná l v určitém okamžiku G. Silou bodové věty je vzdálenost od G do tečného bodu T musí se rovnat geometrický průměr

${ displaystyle { overline { mathbf {GT}}} cdot { overline { mathbf {GT}}} = { overline { mathbf {GP}}} cdot { overline { mathbf {GQ} }}}$

Dva body na dané čáře L jsou umístěny na dálku ${ displaystyle { overline { mathbf {GT}}}}$ od bodu G, které lze označit jako T₁ a T₂. Dva kruhy řešení jsou kruhy, které procházejí třemi body (P, Q, T₁) a (P, Q, T₂).

Konstrukce kompasu a pravítka

Dva kruhy v Dva body, jeden řádek problém kde linka prochází P a Q je ne rovnoběžně s daným řádkem l, může být konstruováno s kompasem a pravítkem podle:

• Nakreslete čára m skrz dané body P a Q .
• The bod G tam jsou čáry l a m protínají
• Kreslit kruh C. to má PQ jako průměr.
• Nakreslete jednu z tečen z G do kruhu C.
• bod A je místo, kde se dotýká tečna a kruh.
• Kreslit kruh D se středem G přes A.
• Kruh D čára řezu l v bodech T1 a T2.
• Jedním z požadovaných kruhů je kruh P, Q a T1.
• Druhý kruh je kruh skrz P, Q a T2.

Typ 5: Jeden kruh, dva body

Problémy s CPP mají obecně 2 řešení. Uvažujme o kružnici soustředěné na jeden daný bod P který prochází druhým bodem, Q. Protože kruh řešení musí projít P, inverze v tomto kruhu transformuje kružnici řešení na liniovou lambdu. Stejná inverze se transformuje Q do sebe a (obecně) do daného kruhu C do jiného kruhu C. Problém se tedy stává hledáním linie řešení, která prochází Q a dotýká se C, který byl vyřešen výše; existují dva takové řádky. Re-inverze vytvoří dva odpovídající kruhy řešení původního problému.

Typ 6: Jeden kruh, jedna čára, jeden bod

Problémy s CLP mají obecně 4 řešení. Řešení tohoto zvláštního případu je podobné řešení CPP Apollonius. Nakreslete kružnici se středem v daném bodě P; protože kruh řešení musí projít P, inverze v tomto^{[je zapotřebí objasnění ]} circle transformuje kružnici řešení na line lambda. Obecně platí, že stejná inverze transformuje danou linku L a daný kruh C do dvou nových kruhů, C₁ a C₂. Problém se tedy stává problémem najít linii řešení tečnou ke dvěma obráceným kruhům, která byla vyřešena výše. Existují čtyři takové řádky a zpětná inverze je transformuje do čtyř kruhů řešení problému Apollonius.

Typ 7: Dva kruhy, jeden bod

Problémy s CCP mají obecně 4 řešení. Řešení tohoto zvláštního případu je podobné řešení CPP. Nakreslete kružnici se středem v daném bodě P; protože kruh řešení musí projít P, inverze v tomto kruhu transformuje kružnici řešení na přímku lambda. Obecně platí, že stejná inverze transformuje daný kruh C₁ a C₂ do dvou nových kruhů, C₁ a C₂. Problém se tedy stává problémem najít linii řešení tečnou ke dvěma obráceným kružnicím, která byla vyřešena výše. Existují čtyři takové řádky a zpětná inverze je transformuje do čtyř kruhů řešení původního problému Apollonius.

Typ 8: Jeden kruh, dva řádky

Problémy CLL mají obecně 8 řešení. Tento speciální případ je nejsnadněji vyřešen pomocí škálování. Daná kružnice je zmenšena na bod a poloměr kružnice řešení se buď sníží o stejnou částku (pokud je interně tangensové řešení), nebo se zvětší (pokud je externě tečna kružnice). V závislosti na tom, zda je kružnice řešení zvětšena nebo zmenšena v poloměrech, jsou dvě dané čáry posunuty rovnoběžně k sobě o stejné množství, v závislosti na tom, ve kterém kvadrantu střed kružnice řešení spadne. Toto zmenšení dané kružnice na bod redukuje problém na problém PLL, vyřešený výše. Obecně existují dvě taková řešení na kvadrant, celkem tedy osm řešení.

Typ 9: Dva kruhy, jeden řádek

Problémy s CCL mají obecně 8 řešení. Řešení tohoto zvláštního případu je podobné jako u CLL. Menší kružnice se zmenší na bod, přičemž se upraví poloměry větší dané kružnice a jakékoli kružnice řešení a posune se čára rovnoběžně s ní, podle toho, zda jsou interně nebo externě tečny k menší kružnici. Tím se problém sníží na CLP. Každý problém CLP má čtyři řešení, jak je popsáno výše, a existují dva takové problémy, v závislosti na tom, zda je kruh řešení interně nebo externě tečný k menšímu kruhu.

Zvláštní případy bez řešení

Apolloniův problém je nemožný, pokud dané kruhy jsou vnořené, tj. pokud je jeden kruh zcela uzavřen v určitém kruhu a zbývající kruh je zcela vyloučen. To následuje, protože jakýkoli kruh řešení by musel přejít středním kruhem, aby se mohl pohybovat z jeho tečnosti k vnitřnímu kruhu k jeho tečnosti s vnějším kruhem. Tento obecný výsledek má několik zvláštních případů, kdy se dané kruhy zmenší na body (nulový poloměr) nebo se rozšíří na přímé čáry (nekonečný poloměr). Například problém CCL má nulová řešení, pokud jsou dva kruhy na opačných stranách čáry, protože v takovém případě by jakýkoli kruh řešení musel tangenciálně překročit danou čáru, aby mohl přejít z tečného bodu jedné kružnice k této toho druhého.

Viz také

• Problém Apollónia
• Stavby kompasů a pravítek

Reference

• Altshiller-Court N (1952). College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. vydání, přepracované a rozšířené vydání). New York: Barnes a Noble. str. 222–227.
• Benjamin Alvord (1855) Tangence kruhů a koulí, Smithsonianovy příspěvky, svazek 8, od Knihy Google.
• Bruen A, Fisher JC, Wilker JB (1983). „Apollonius inverzí“. Matematický časopis. 56 (2): 97–103. doi:10.2307/2690380. JSTOR  2690380.
• Hartshorne R (2000). Geometrie: Euclid a další. New York: Springer Verlag. str. 346–355. ISBN  0-387-98650-2.

externí odkazy