Homologické domněnky v komutativní algebře - Homological conjectures in commutative algebra

v matematika, homologické dohady byly zaměřeny na výzkumnou činnost v komutativní algebra od počátku šedesátých let. Týkají se řady vzájemně souvisejících (někdy překvapivě ano) dohadů týkajících se různých homologický vlastnosti a komutativní prsten jeho vnitřní kruhové struktuře, zejména jeho Dimenze Krull a hloubka.

Následující seznam uvádí Melvin Hochster je pro tuto oblast považován za definitivní. V pokračování ${ displaystyle A, R}$ , a ${ displaystyle S}$ odkazují na Noetherian komutativní prsteny; ${ displaystyle R}$ bude místní prsten s maximálním ideálem ${ displaystyle m_ {R}}$ , a ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle N}$ jsou definitivně generováno ${ displaystyle R}$ - moduly.

Věta o nulovém děliteli. Li ${ displaystyle M neq 0}$ má konečný projektivní rozměr a ${ displaystyle r v R}$ není nulový dělitel na ${ displaystyle M}$ , pak ${ displaystyle r}$ není nulovým dělitelem ${ displaystyle R}$ .
Bassova otázka. Li ${ displaystyle M neq 0}$ má konečnou injektivní řešení pak ${ displaystyle R}$ je Cohen – Macaulayův prsten.
Věta o křižovatce. Li ${ displaystyle M otimes _ {R} N neq 0}$ má konečnou délku, pak Dimenze Krull z N (tj. rozměr R modulo the zničit z N) je nanejvýš projektivní rozměr z M.
The New Intersection Theorem. Nechat ${ displaystyle 0 až G_ {n} až cdots až G_ {0} až 0}$ označit konečný komplex volného R- takové moduly ${ displaystyle bigoplus nolimits _ {i} H_ {i} (G _ { kulka})}$ má konečnou délku, ale není 0. Pak (dimenze Krull) ${ displaystyle dim R leq n}$ .
Vylepšená nová domněnka křižovatky. Nechat ${ displaystyle 0 až G_ {n} až cdots až G_ {0} až 0}$ označit konečný komplex volného R- takové moduly ${ displaystyle H_ {i} (G _ { bullet})}$ má konečnou délku pro ${ displaystyle i> 0}$ a ${ displaystyle H_ {0} (G _ { bullet})}$ má minimální generátor, který je zabit silou maximálního ideálu R. Pak ${ displaystyle dim R leq n}$ .
Přímý dohad hypotézy. Li ${ displaystyle R subseteq S}$ je modul-konečný prsten rozšíření s R pravidelné (zde, R nemusí být místní, ale problém se okamžitě sníží na místní případ), pak R je přímým součtem S jako R-modul. Domněnku prokázal Yves André pomocí teorie perfektní prostory.^[1]
Domněnka kanonických prvků. Nechat ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {d}}$ být soustava parametrů pro R, nechť ${ displaystyle F _ { bullet}}$ být zdarma R-rozřešení zbytkové pole z R s ${ displaystyle F_ {0} = R}$ a nechte ${ displaystyle K _ { bullet}}$ označit Koszul komplex z R s ohledem na ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {d}}$ . Zvedněte mapu identity ${ displaystyle R = K_ {0} až F_ {0} = R}$ na mapu komplexů. Pak bez ohledu na to, jaký je výběr systému parametrů nebo zvedání, poslední mapa z ${ displaystyle R = K_ {d} až F_ {d}}$ není 0.
Existence domněnky vyvážených velkých modulů Cohen – Macaulay. Existuje (nemusí být nutně definitivně generováno) R-modul Ž takhle m_RW ≠ Ž a každý systém parametrů pro R je pravidelná sekvence na Ž.
Cohen-Macaulayness přímých dohadů dohad. Li R je přímý součet pravidelného kruhu S jako R- tedy modul R je Cohen – Macaulay (R nemusí být místní, ale výsledek se okamžitě sníží na případ, kdy R je místní).
Mizející domněnka pro mapy Tor. Nechat ${ displaystyle A subseteq R až S}$ být homomorfismy kde R není nutně lokální (lze ho však omezit), s TAK JAKO pravidelné a R konečně vygenerován jako A-modul. Nechat Ž být kdokoli A-modul. Pak mapa ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ^ {A} (W, R) to operatorname {Tor} _ {i} ^ {A} (W, S)}$ je nula pro všechny ${ displaystyle i geq 1}$ .
Silná přímá domněnka. Nechat ${ displaystyle R subseteq S}$ být mapou kompletních lokálních domén, a nechť Q být výškou jednoho z hlavních ideálů S ležet ${ displaystyle xR}$ , kde R a ${ displaystyle R / xR}$ jsou oba normální. Pak ${ displaystyle xR}$ je přímý součet z Q považováno za R- moduly.
Existence slabě funkčního velkého hypotézy Cohen-Macaulay Algebras. Nechat ${ displaystyle R to S}$ být lokálním homomorfismem úplných místních domén. Pak existuje R-algebra B_R to je vyvážená velká Cohen – Macaulayova algebra R, an S-algebra ${ displaystyle B_ {S}}$ to je vyvážená velká Cohen-Macaulayova algebra Sa homomorfismus B_R → B_S takové, že přírodní čtverec daný těmito mapami dojíždí.
Serreova domněnka o multiplicitách. (srov. Serreovy domněnky mnohosti.) Předpokládejme, že R je pravidelné dimenze d a to ${ displaystyle M otimes _ {R} N}$ má konečnou délku. Pak ${ displaystyle chi (M, N)}$ , definovaný jako střídavý součet délek modulů ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, N)}$ je 0, pokud ${ displaystyle dim M + dim N$ , a je kladné, pokud je součet roven d. (Pozn. Jean-Pierre Serre prokázal, že součet nemůže překročit d.)
Domněnky malých modulů Cohen – Macaulay. Li R je kompletní, pak existuje konečně vygenerovaný R-modul ${ displaystyle M neq 0}$ takový, že nějaký (ekvivalentně každý) systém parametrů pro R je pravidelná sekvence na M.