Schreierova věta o zdokonalení - Schreier refinement theorem - Wikipedia

v matematika, Schreierova věta o zdokonalení z teorie skupin uvádí, že jakékoli dva subnormální série z podskupiny dané skupiny mají ekvivalentní vylepšení, kde dvě řady jsou ekvivalentní, pokud existuje bijekce mezi jejich skupiny faktorů který posílá každou skupinu faktorů do izomorfní jeden.

Věta je pojmenována po rakouský matematik Otto Schreier , který to dokázal v roce 1928. Poskytuje elegantní důkaz o Jordan – Hölderova věta. Často se prokazuje pomocí Lemma Zassenhaus. Baumslag (2006) poskytuje krátký důkaz protínáním výrazů v jedné subnormální sérii s termíny v ostatních sériích.

Příklad

Zvážit ${ displaystyle mathbb {Z} / (2) krát S_ {3}}$, kde ${ displaystyle S_ {3}}$ je symetrická skupina stupně 3. Existují podnormální řady

${ displaystyle {[0] } krát { operatorname {id} } ; triangleleft ; mathbb {Z} / (2) times { operatorname {id} } ; triangleleft ; mathbb {Z} / (2) krát S_ {3},}$

${ displaystyle {[0] } krát { operatorname {id} } ; triangleleft ; {[0] } krát S_ {3} ; triangleleft ; mathbb {Z } / (2) krát S_ {3}.}$

${ displaystyle S_ {3}}$ obsahuje normální podskupina ${ displaystyle A_ {3}}$. Proto mají vylepšení

${ displaystyle {[0] } krát { operatorname {id} } ; triangleleft ; mathbb {Z} / (2) times { operatorname {id} } ; triangleleft ; mathbb {Z} / (2) krát A_ {3} ; triangleleft ; mathbb {Z} / (2) krát S_ {3}}$

se skupinami faktorů isomorfními na ${ displaystyle ( mathbb {Z} / (2), A_ {3}, mathbb {Z} / (2))}$ a

${ displaystyle {[0] } krát { operatorname {id} } ; triangleleft ; {[0] } krát A_ {3} ; triangleleft ; {[0 ] } krát S_ {3} ; triangleleft ; mathbb {Z} / (2) krát S_ {3}}$

se skupinami faktorů isomorfními na ${ displaystyle (A_ {3}, mathbb {Z} / (2), mathbb {Z} / (2))}$.

Reference

• Baumslag, Benjamin (2006), „Jednoduchý způsob prokázání Jordan-Hölder-Schreierovy věty“, Americký matematický měsíčník, 113 (10): 933–935, doi:10.2307/27642092

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.