Žádné ideální - Nil ideal - Wikipedia

v matematika, konkrétněji teorie prstenů, levý, pravý nebo oboustranný ideál a prsten se říká, že je žádný ideální pokud je každý z jeho prvků nilpotentní.[1][2]

The nilradikální a komutativní prsten je příkladem nulového ideálu; ve skutečnosti je to ideál maxima prstenu s ohledem na vlastnost být nulový. Bohužel sada nulových prvků není vždy ideální pro nekomutativní prsteny. Žádné ideály jsou stále spojeny se zajímavými otevřenými otázkami, zejména nevyřešenými Köthe dohad.

Komutativní prsteny

U komutativních prstenů jsou nulové ideály lépe pochopeny než u nekomutativních prstenů, především proto, že v komutativních prstenech jsou výrobky nilpotentní prvky a součty nilpotentních prvků jsou oba nilpotentní. Je to proto, že pokud A a b jsou nilpotentní prvky R s An= 0 a bm= 0, a r je libovolný prvek R, pak (A·r)n = An·rn = 0, a podle binomické věty, (A+b)m + n= 0. Sada všech nilpotentních prvků proto tvoří ideál známý jako nilradikál prstenu. Protože nilradikál obsahuje všechny nilpotentní prvky, ideál komutativního kruhu je nulový právě tehdy, pokud se jedná o podmnožinu nilradikálu, a tak je nilradikál maximální mezi nulovými ideály. Dále pro jakýkoli nilpotentní prvek A komutativního kruhu R, ideál aR je nulová. Pro nekomutativní prsten však obecně neplatí, že sada nilpotentních prvků tvoří ideál, nebo že A·R je nulový (jednostranný) ideál, i když A je nilpotentní.

Nezávazné prsteny

Teorie nulových ideálů má zásadní význam v teorii nekomutativních prstenů. Zejména prostřednictvím porozumění žádné prsteny —Kroužky, jejichž každý prvek je nilpotentní - lze získat mnohem lepší pochopení obecnějších prstenů.[3]

V případě komutativních prstenů vždy existuje maximální nulový ideál: nilradikál prstenu. Existence takového maximálního nulového ideálu v případě nekomutativních prstenů je zaručena skutečností, že součet nulových ideálů je opět nulový. Pravda tvrzení, že součet dvou ideálů levé nuly je opět ideálem levé nuly, však zůstává nepolapitelná; je to otevřený problém známý jako Köthe dohad.[4] Köthe dohad byl poprvé představen v roce 1930 a přesto zůstává nevyřešen od roku 2010.

Vztah k nilpotentním ideálům

Pojem nulový ideál má hlubokou souvislost s pojmem a nilpotentní ideální a v některých třídách prstenů se tyto dva pojmy shodují. Pokud je ideál nilpotentní, je samozřejmě nulový. Existují dvě hlavní překážky, které brání tomu, aby žádné ideály byly nulové:

  1. Na exponentu nutném k vyhlazení prvků nemusí být horní mez. Mohou být požadovány libovolně vysoké exponenty.
  2. Produkt z n nilpotentní prvky mohou být nenulové pro libovolně vysokou hodnotu n.

Je zřejmé, že je třeba se vyhnout oběma překážkám, aby se žádný ideál kvalifikoval jako nilpotentní.

V pravý artinianský prsten, jakýkoli nulový ideál je nilpotentní.[5] To dokazuje pozorování, že jakýkoli nulový ideál je obsažen v Jacobson radikální prstenu, a protože Jacobsonův radikál je nilpotentním ideálem (díky artiniánské hypotéze), následuje výsledek. Ve skutečnosti to bylo zobecněno na pravé noetherian prsteny; výsledek je znám jako Levitzkyho věta. Obzvláště jednoduchý důkaz díky Utumi najdete v (Herstein 1968, Věta 1.4.5, str. 37).

Viz také

Poznámky

  1. ^ Isaacs 1993, str. 194
  2. ^ Herstein 1968, Definice (b), s. 13
  3. ^ Oddíl 2 Smoktunowicz 2006, str. 260
  4. ^ Herstein 1968, str. 21
  5. ^ Isaacs 1993, Dodatek 14.3, s. 195.

Reference

  • Herstein, I.N. (1968), Nezávazné prsteny (1. vyd.), The Mathematical Association of America, ISBN  0-88385-015-X
  • Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, postgraduální kurz (1. vyd.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN  0-534-19002-2
  • Smoktunowicz, Agata (2006), „Některé výsledky v nekomutativní teorii prstenů“ (PDF), International Congress of Mathematicians, Vol. II, Curych: Evropská matematická společnost, str. 259–269, ISBN  978-3-03719-022-7, PAN  2275597, vyvoláno 2009-08-19