Gelfond – Schneiderova konstanta - Gelfond–Schneider constant
The Gelfond – Schneiderova konstanta nebo Hilbertovo číslo[1] je dva do Napájení z druhá odmocnina ze dvou:
- 2√2 = 2.6651441426902251886502972498731...
který se ukázal jako a transcendentní číslo podle Rodion Kuzmin v roce 1930.[2]V roce 1934 Aleksandr Gelfond a Theodor Schneider nezávisle se ukázalo obecnější Gelfond – Schneiderova věta,[3] který vyřešil část Hilbertův sedmý problém popsané níže.
Vlastnosti
The odmocnina Gelfond-Schneiderovy konstanty je transcendentální číslo
- .
Stejnou konstantu lze použít k prokázání, že „iracionální povýšený na iracionální moc může být racionální“, a to i bez předchozího prokázání své transcendence. Důkaz probíhá následovně: buď √2√2 je racionální, což dokazuje teorém, nebo je iracionální (jak se ukázalo), a pak
je iracionální vůči iracionální moci, která je racionální, což dokazuje teorém.[4][5] Důkaz není konstruktivní, protože neříká, který ze dvou případů je pravdivý, ale je mnohem jednodušší než Kuzmin důkaz.
Hilbertův sedmý problém
Část sedmého Hilbertových dvacet tři problémů v roce 1900 bylo dokázat, nebo najít protipříklad, tvrzení, že Ab je vždy transcendentální pro algebraiku A ≠ 0, 1 a iracionální algebraické b. V projevu uvedl dva explicitní příklady, jedním z nich byla konstanta Gelfond – Schneider 2√2.
V roce 1919 přednesl přednášku teorie čísel a mluvil o třech domněnkách: Riemannova hypotéza, Fermatova poslední věta a transcendence 2√2. Zmínil se o publiku, že neočekává, že by někdo v hale žil dost dlouho na to, aby viděl důkaz tohoto konečného výsledku.[6] Ale důkaz transcendence tohoto čísla vydal Kuzmin v roce 1930,[2] dobře uvnitř Hilbert vlastní život. Kuzmin totiž dokázal případ, kdy exponent b je skutečný kvadratická iracionální, který byl později rozšířen na libovolnou algebraickou iracionální b Gelfond a Schneider.
Viz také
Reference
- ^ Courant, R.; Robbins, H. (1996), Co je to matematika?: Základní přístup k myšlenkám a metodámOxford University Press, s. 107
- ^ A b R. O. Kuzmin (1930). „Na novou třídu transcendentálních čísel“. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, ser. matem. 7: 585–597.
- ^ Aleksandr Gelfond (1934). „Sur le septième Problème de Hilbert“. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.
- ^ Jarden, D. (1953), „Curiosa: Jednoduchý důkaz, že síla iracionálního čísla na iracionálního exponenta může být racionální“, Scripta Mathematica, 19: 229.
- ^ Jones, J. P .; Toporowski, S. (1973), "Iracionální čísla", Americký matematický měsíčník, 80: 423–424, doi:10.2307/2319091, PAN 0314775,
- ^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920.
Další čtení
- Ribenboim, Paulo (2000). Moje čísla, moji přátelé: Populární přednášky o teorii čísel. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98911-0. Zbl 0947.11001.
- Tijdeman, Robert (1976). „O metodě Gel'fond – Baker a jejích aplikacích“. v Felix E. Browder (vyd.). Matematický vývoj vyplývající z problémů Hilberta. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1. Americká matematická společnost. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026.