Rovnice definující abelianské odrůdy - Equations defining abelian varieties

v matematika, pojem abelianská odrůda je vyšší dimenzionální zobecnění eliptická křivka. The rovnice definující abelianské odrůdy jsou předmětem studia, protože každá abelianská odrůda je a projektivní rozmanitost. V dimenzi d ≥ 2, ale už není tak jednoduché diskutovat o těchto rovnicích.

K této otázce existuje velká klasická literatura, která v přeformulování je pro komplexní algebraická geometrie, otázka popisu vztahů mezi theta funkce. Moderní geometrické zpracování nyní odkazuje na některé základní práce z David Mumford, od roku 1966 do roku 1967, který přeformuloval tuto teorii z hlediska abstraktní algebraické geometrie platné obecně pole.

Kompletní křižovatky

Jediné „snadné“ případy jsou případy pro d = 1, pro eliptickou křivku s lineárním rozpětím projektivní rovinu nebo projektivní 3prostor. V rovině je každá eliptická křivka dána kubickou křivkou. v P³, eliptickou křivku lze získat jako průsečík dvou kvadrics.

Obecně abelianské odrůdy nejsou kompletní křižovatky. Počítačová algebra techniky jsou nyní schopny mít určitý dopad na přímé zpracování rovnic pro malé hodnoty d > 1.

Kummerovy povrchy

Zájem o geometrii devatenáctého století v EU Kummerův povrch přišel částečně z cesty a křemenný povrch představoval podíl abelianské odrůdy s d = 2, skupinou řádu 2 automorfismů generovaných X → −X na odrůdě abelian.

Obecný případ

Mumford definoval a theta skupina spojené s invertibilní svazek L na abelianské odrůdě A. Jedná se o skupinu automorfismů L, a je konečným analogem Skupina Heisenberg. Primární výsledky jsou o působení skupiny theta na globální sekce z L. Když L je velmi bohatý, lineární reprezentace lze popsat pomocí struktury skupiny theta. Ve skutečnosti je theta skupina abstraktně jednoduchý typ nilpotentní skupina, a centrální prodloužení skupiny torzních bodů na A, a rozšíření je známé (je ve skutečnosti dáno Weil párování ). Výsledek jedinečnosti neredukovatelných lineárních reprezentací skupiny theta s daným ústřední postava, nebo jinými slovy analog Stone – von Neumannova věta. (Předpokládá se, že charakteristika pole koeficientů nerozděluje pořadí theta skupiny.)

Mumford ukázal, jak by tato abstraktní algebraická formulace mohla odpovídat klasické teorii funkcí theta vlastnosti theta, jako v případě, kdy skupina theta byla prodloužením dvoukroucení A.

Novinkou v této oblasti je využití Mukai – Fourierova transformace.

Souřadnicový kruh

Cílem teorie je prokázat výsledky na homogenní souřadnicový kruh vložené abelianské odrůdy A, to znamená, že se nachází v projektivním prostoru podle velmi velkého množství L a jeho globální sekce. The odstupňovaný komutativní kruh který je tvořen přímým součtem globálních sekcí

${displaystyle L ^ {n},}$

což znamená n-složit tenzorový produkt o sobě, je reprezentován jako kvocientový kroužek a polynomiální algebra podle a homogenní ideál Já. Odstupňované části Já byly předmětem intenzivního studia.

Kvadratické vztahy poskytl Bernhard Riemann. Koizumiho věta uvádí, že třetí síla velkého svazku linek je normálně generováno. The Mumford – Kempfova věta uvádí, že čtvrtá síla velkého svazku řádků je uvedena kvadraticky. Pro základní pole charakteristická nula, Giuseppe Pareschi prokázal výsledek včetně těchto (jako případů p = 0, 1) které předpokládal Lazarsfeld: let L být dostatečným svazkem linií na abelianské odrůdě A. Li n ≥ p + 3, pak n-tý tenzorový výkon L splňuje stav N_p.^[1] Další výsledky prokázali Pareschi a Popa, včetně předchozí práce v této oblasti.^[2]

Viz také

• Časová osa abelianských odrůd
• Balíček Horrocks – Mumford

Reference

• David Mumford, Na rovnicích definujících abelianské odrůdy I Vymyslet. Math., 1 (1966), str. 287–354
• ____, Na rovnicích definujících abelianské odrůdy II – III Vymyslet. Math., 3 (1967), str. 71–135; 215–244
• ____, Abelianské odrůdy (1974)
• Jun-ichi Igusa, Funkce theta (1972)

Další čtení

• David Mumford, Vybrané statě o klasifikaci odrůd a modulových prostorů, redakční komentář G. Kempfa a H. Lange, s. 293–5