Konečná rozšíření místních polí - Finite extensions of local fields

v algebraická teorie čísel, dokončením, studium rozvětvení a hlavní ideál lze často omezit na případ místní pole kde lze provést podrobnější analýzu pomocí nástrojů, jako jsou rozvětvovací skupiny.

V tomto článku není místní pole neanarchistické a má konečné zbytkové pole.

Unramified rozšíření

Nechat ${ displaystyle L / K}$ být konečným Galoisovým rozšířením nearchimédských místních polí s poli konečných zbytků ${ displaystyle ell / k}$ a skupina Galois ${ displaystyle G}$ . Pak jsou ekvivalentní následující.

(i) ${ displaystyle L / K}$ je unramified.
ii) ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L} / { mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L}}$ je pole, kde ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je maximálním ideálem ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ .
(iii) ${ displaystyle [L: K] = [ ell: k]}$
(iv) setrvačná podskupina z ${ displaystyle G}$ je triviální.
(v) Pokud ${ displaystyle pi}$ je uniformizační prvek z ${ displaystyle K}$ , pak ${ displaystyle pi}$ je také uniformizačním prvkem ${ displaystyle L}$ .

Když ${ displaystyle L / K}$ není unramified, podle (iv) (nebo (iii)), G lze identifikovat pomocí ${ displaystyle operatorname {Gal} ( ell / k)}$ , což je konečné cyklický.

Výše uvedené znamená, že existuje rovnocennost kategorií mezi konečnými unramified rozšíření místního pole K. a konečný oddělitelná rozšíření pole reziduí vK..

Zcela rozvětvené rozšíření

Opět nechte ${ displaystyle L / K}$ být konečným Galoisovým rozšířením nearchimédských místních polí s poli konečných zbytků ${ displaystyle l / k}$ a skupina Galois ${ displaystyle G}$ . Následující jsou ekvivalentní.

${ displaystyle L / K}$ je zcela rozvětvené
${ displaystyle G}$ se shoduje s podskupinou setrvačnosti.
${ displaystyle L = K [ pi]}$ kde ${ displaystyle pi}$ je kořenem Eisensteinův polynom.
Norma ${ displaystyle N (L / K)}$ obsahuje uniformizátor ${ displaystyle K}$ .

Viz také

Reference

Cassels, J.W.S. (1986). Místní pole. Studentské texty London Mathematical Society. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Weiss, Edwin (1976). Algebraická teorie čísel (2. nezměněné vydání). Nakladatelství Chelsea. ISBN 0-8284-0293-0. Zbl 0348.12101.