Věta Hasse-Arf - Hasse–Arf theorem - Wikipedia

v matematika, konkrétně v teorie místní třídy pole, Věta Hasse-Arf je výsledek týkající se skoků z horní číslování filtrace Galoisova skupina konečný Galoisovo rozšíření. Zvláštní případ, kdy jsou zbytková pole konečná, původně prokázal Helmut Hasse,^[1][2] a obecný výsledek byl prokázán Cahit Arf.^[3][4]

Prohlášení

Vyšší rozvětvovací skupiny

Věta se zabývá horními číslovanými vyššími rozvětvovacími skupinami konečné abelian rozšíření L/K.. Takže předpokládejme L/K. je konečné rozšíření Galois, a to proti_K. je diskrétní normalizované ocenění z K., jehož zbytkové pole má charakteristiku p > 0, a která připouští jedinečné rozšíření do L, řekněme w. Označit podle proti_L související normalizované ocenění ew z L a nechte ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {O}}}$ být oceňovací prsten z L pod proti_L. Nechat L/K. mít Galoisova skupina G a definovat s-tá rozvětvená skupina L/K. pro všechny skutečné s ≥ -1 o

${ displaystyle G_ {s} (L / K) = { sigma v G ,: , v_ {L} ( sigma aa) geq s + 1 { text {pro všechny}} a v { mathcal {O}} }.}$

Například G₋₁ je skupina Galois G. Chcete-li přejít na horní číslování, musíte definovat funkci ψ_L/K. což je inverzní funkce η_L/K. definován

${ displaystyle eta _ {L / K} (s) = int _ {0} ^ {s} { frac {dx} {| G_ {0}: G_ {x} |}}.}$

Horní číslování rozvětvovací skupiny je pak definováno G^t(L/K.) = G_s(L/K.) kde s = ψ_L/K.(t).

Tyto skupiny vyššího rozvětvení G^t(L/K.) jsou definovány pro jakoukoli skutečnou t ≥ -1, ale od té doby proti_L je diskrétní ocenění, skupiny se budou měnit v diskrétních skokech a ne nepřetržitě. Tak to říkáme t je skok filtrace {G^t(L/K.) : t ≥ −1} pokud G^t(L/K.) ≠ G^u(L/K.) pro všechny u > t. Věta Hasse – Arf nám říká aritmetickou povahu těchto skoků.

Výrok věty

S výše uvedeným nastavením věta říká, že skoky filtrace {G^t(L/K.) : t ≥ −1} jsou všechny racionální celá čísla.^[4][5]

Příklad

Předpokládat G je cyklický řádu ${ displaystyle p ^ {n}}$, ${ displaystyle p}$ charakteristika zbytku a ${ displaystyle G (i)}$ být podskupinou ${ displaystyle G}$ řádu ${ displaystyle p ^ {n-i}}$. Věta říká, že existují kladná celá čísla ${ displaystyle i_ {0}, i_ {1}, ..., i_ {n-1}}$ takhle

${ displaystyle G_ {0} = cdots = G_ {i_ {0}} = G = G ^ {0} = cdots = G ^ {i_ {0}}}$

${ displaystyle G_ {i_ {0} +1} = cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1}} = G (1) = G ^ {i_ {0} +1} = cdots = G ^ {i_ {0} + i_ {1}}}$

${ displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} +1} = cdots = G_ {i_ {0} + pi_ {1} + p ^ {2} i_ {2}} = G (2) = G ^ {i_ {0} + i_ {1} +1}}$

...

${ displaystyle G_ {i_ {0} + pi_ {1} + cdots + p ^ {n-1} i_ {n-1} +1} = 1 = G ^ {i_ {0} + cdots + i_ { n-1} +1}.}$^[4]

Neabelské rozšíření

U neabelovských rozšíření nemusí být skoky v horní filtraci na celých číslech. Serre uvedl příklad zcela rozvětveného rozšíření skupiny Galois, skupiny čtveřic Q₈ objednávky 8 s

• G₀ = Q₈
• G₁ = Q₈
• G₂ = Z/2Z
• G₃ = Z/2Z
• G₄ = 1

Horní číslování pak vyhovuje

• Gⁿ = Q₈ pro n≤1
• Gⁿ = Z/2Z pro 1 <n≤3/2
• Gⁿ = 1 pro 3/2 <n

takže má skok na neintegrální hodnotu n=3/2.

Poznámky

Reference

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1979), Místní pole, Postgraduální texty z matematiky, 67, přeloženo Greenberg, Marvin Jay, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90424-7, PAN  0554237, Zbl  0423.12016