Složitá náhodná proměnná - Complex random variable - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti a statistika, složité náhodné proměnné jsou zobecněním skutečných hodnot náhodné proměnné na komplexní čísla, tj. možné hodnoty, které může složitá náhodná proměnná nabrat, jsou komplexní čísla.^[1] Složité náhodné proměnné lze vždy považovat za dvojice skutečných náhodných proměnných: jejich skutečných a imaginárních částí. Proto rozdělení jedné složité náhodné proměnné lze interpretovat jako společná distribuce dvou skutečných náhodných proměnných.

Některé koncepty skutečných náhodných proměnných mají přímou generalizaci na složité náhodné proměnné - např. Definice znamenat komplexní náhodné proměnné. Jiné koncepty jsou jedinečné pro složité náhodné proměnné.

Aplikace komplexních náhodných proměnných se nacházejí v zpracování digitálních signálů,^[2] kvadraturní amplitudová modulace a teorie informace.

Definice

Složitá náhodná proměnná ${ displaystyle Z}$ na pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ je funkce ${ displaystyle Z colon Omega rightarrow mathbb {C}}$ tak, že obě jeho skutečné části ${ displaystyle Re {(Z)}}$ a jeho imaginární část ${ displaystyle Im {(Z)}}$ jsou skutečné náhodné proměnné na ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ .

Příklady

Jednoduchý příklad

Zvažte náhodnou proměnnou, která může nabývat pouze tří komplexních hodnot ${ displaystyle 1 + i, 1-i, 2}$ s pravděpodobnostmi uvedenými v tabulce. Toto je jednoduchý příklad složité náhodné proměnné.

Pravděpodobnost ${ displaystyle P (z)}$	Hodnota ${ displaystyle z}$
${ displaystyle { frac {1} {4}}}$	${ displaystyle 1 + i}$
${ displaystyle { frac {1} {4}}}$	${ displaystyle 1-i}$
${ displaystyle { frac {1} {2}}}$	${ displaystyle 2}$

The očekávání z této náhodné proměnné lze jednoduše vypočítat: ${ displaystyle operatorname {E} [Z] = { frac {1} {4}} (1 + i) + { frac {1} {4}} (1-i) + { frac {1} {2}} 2 = { frac {3} {2}}.}$

Rovnoměrné rozdělení

Dalším příkladem složité náhodné proměnné je rovnoměrné rozdělení po vyplněném jednotkovém kruhu, tj. Množině ${ displaystyle {z v mathbb {C} střední | z | leq 1 }}$ . Tato náhodná proměnná je příkladem komplexní náhodné proměnné, pro kterou funkce hustoty pravděpodobnosti je definováno. Funkce hustoty je na následujícím obrázku zobrazena jako žlutý disk a tmavě modrá základna.

Složité normální rozdělení

Složité gaussovské náhodné proměnné se v aplikacích často vyskytují. Jedná se o přímou generalizaci skutečných Gaussových náhodných proměnných. Následující graf ukazuje příklad distribuce takové proměnné.

Funkce kumulativní distribuce

Zobecnění funkce kumulativní distribuce z reálných na složité náhodné proměnné není zřejmé, protože výrazy tvaru ${ displaystyle P (Z leq 1 + 3i)}$ nedává smysl. Nicméně výrazy formuláře ${ displaystyle P ( Re {(Z)} leq 1, Im {(Z)} leq 3)}$ dávat smysl. Proto definujeme kumulativní rozdělení ${ displaystyle F_ {Z}: mathbb {C} až [0,1]}$ komplexních náhodných proměnných prostřednictvím společná distribuce jejich skutečné a imaginární části:

{ displaystyle F_ {Z} (z) = F _ { Re {(Z)}, Im {(Z)}} ( Re {(z)}, Im {(z)}) = P ( Re {(Z)} leq Re {(z)}, Im {(Z)} leq Im {(z)})}

(Rovnice 1)

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Funkce hustoty pravděpodobnosti komplexní náhodné proměnné je definována jako ${ displaystyle f_ {Z} (z) = f _ { Re {(Z)}, Im {(Z)}} ( Re {(z)}, Im {(z)})}$ , tj. hodnota hustotní funkce v bodě ${ displaystyle z in mathbb {C}}$ je definována jako rovna hodnotě hustoty kloubu reálné a imaginární části náhodné proměnné vyhodnocené v bodě ${ displaystyle ( Re {(z)}, Im {(z)})}$ .

Ekvivalentní definice je dána vztahem ${ displaystyle f_ {Z} (z) = { frac { částečné ^ {2}} { částečné x částečné y}} P ( Re {(Z)} leq x, Im {(Z) } leq y)}$ kde ${ displaystyle x = Re {(z)}}$ a ${ displaystyle y = Im {(z)}}$ .

Stejně jako ve skutečném případě nemusí funkce hustoty existovat.

Očekávání

Definice

Očekávání komplexní náhodné proměnné je definováno na základě definice očekávání skutečné náhodné proměnné:^[3]^{:str. 112}

{ displaystyle operatorname {E} [Z] = operatorname {E} [ Re {(Z)}] + i operatorname {E} [ Im {(Z)}]}}

(Rovnice 2)

Všimněte si, že očekávání složité náhodné proměnné neexistuje, pokud ${ displaystyle operatorname {E} [ Re {(Z)}]}$ nebo ${ displaystyle operatorname {E} [ Im {(Z)}]}$ neexistuje.

Pokud je komplexní náhodná proměnná ${ displaystyle Z}$ má funkci hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle f_ {Z} (z)}$ , pak je očekávání dáno ${ displaystyle operatorname {E} [Z] = int _ { mathbb {C}} z cdot f_ {Z} (z) dz}$ .

Pokud je komplexní náhodná proměnná ${ displaystyle Z}$ má funkce pravděpodobnostní hmotnosti ${ displaystyle p_ {Z} (z)}$ , pak je očekávání dáno ${ displaystyle operatorname {E} [Z] = součet _ {z v mathbb {Z}} z cdot p_ {Z} (z)}$ .

Vlastnosti

Kdykoli existuje očekávání složité náhodné proměnné, vezmeme očekávání a komplexní konjugace dojíždět:

{ displaystyle { overline { operatorname {E} [Z]}} = operatorname {E} [{ overline {Z}}].}

Operátor očekávané hodnoty ${ displaystyle operatorname {E} [ cdot]}$ je lineární V tom smyslu, že

{ displaystyle operatorname {E} [aZ + bW] = a operatorname {E} [Z] + b operatorname {E} [W]}

pro jakékoli komplexní koeficienty ${ displaystyle a, b}$ i kdyby ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle W}$ nejsou nezávislý.

Rozptyl a pseudorozptyl

Rozptyl definice

Rozptyl je definován jako:^[3]^{:str. 117}

{ displaystyle operatorname {Var} [Z] = operatorname {E} [| Z- operatorname {E} [Z] | ^ {2}] = operatorname {E} [| Z | ^ {2}] - | operatorname {E} [Z] | ^ {2}}

(Rovnice 3)

Vlastnosti

Rozptyl je vždy nezáporné reálné číslo. Rovná se součtu odchylek reálné a imaginární části komplexní náhodné proměnné:

{ displaystyle operatorname {Var} [Z] = operatorname {Var} [ Re {(Z)}] + operatorname {Var} [ Im {(Z)}].}

Rozptyl lineární kombinace složitých náhodných proměnných lze vypočítat pomocí následujícího vzorce:

{ displaystyle operatorname {Var} left [ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} Z_ {k} right] = sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} a_ {i} { overline {a_ {j}}} operatorname {Cov} [Z_ {i}, Z_ {j}].}

Definice pseudo-variance

The pseudorozptyl je speciální případ pseudokovariance a je dán vztahem

{ displaystyle operatorname {J} _ {ZZ} = operatorname {E} [(Z- operatorname {E} [Z]) ^ {2}] = operatorname {E} [Z ^ {2}] - ( operatorname {E} [Z]) ^ {2}}

(Rovnice 4)

Na rozdíl od rozptylu ${ displaystyle Z}$ , což je vždy skutečné a pozitivní, pseudorozptyl ${ displaystyle Z}$ je obecně složitý.

Kovariance a pseudokonvariance

Definice

The kovariance mezi dvěma komplexními náhodnými proměnnými ${ displaystyle Z, W}$ je definován jako^[3]^{:str. 119}

{ displaystyle operatorname {K} _ {ZW} = operatorname {Cov} [Z, W] = operatorname {E} [(Z- operatorname {E} [Z]) { overline {(W- operatorname {E} [W])}}] = operatorname {E} [Z { overline {W}}] - operatorname {E} [Z] operatorname {E} [{ overline {W}}] }

(Rovnice 5)

Všimněte si složité konjugace druhého faktoru v definici. Na rozdíl od skutečných náhodných proměnných definujeme také a pseudovarianční (nazývané také doplňková variance):

{ displaystyle operatorname {J} _ {ZW} = operatorname {Cov} [Z, { overline {W}}] = operatorname {E} [(Z- operatorname {E} [Z]) (W - operatorname {E} [W])] = operatorname {E} [ZW] - operatorname {E} [Z] operatorname {E} [W]}

(Rovnice 6)

Statistiky druhého řádu jsou plně charakterizovány kovariancí a pseudovariancí.

Vlastnosti

Kovariance má následující vlastnosti:

${ displaystyle operatorname {Cov} [Z, W] = { overline { operatorname {Cov} [W, Z]}}}$ (Konjugovaná symetrie)
${ displaystyle operatorname {Cov} [ alpha Z, W] = alpha operatorname {Cov} [Z, W]}$ (Sesquilinearity)
${ displaystyle operatorname {Cov} [Z, alpha W] = { overline { alpha}} operatorname {Cov} [Z, W]}$
${ displaystyle operatorname {Cov} [Z_ {1} + Z_ {2}, W] = operatorname {Cov} [Z_ {1}, W] + operatorname {Cov} [Z_ {2}, W]}$
${ displaystyle operatorname {Cov} [Z, W_ {1} + W_ {2}] = operatorname {Cov} [Z, W_ {1}] + operatorname {Cov} [Z, W_ {2}]}$
${ displaystyle operatorname {Cov} [Z, Z] = { operatorname {Var} [Z]}}$

Nesoulad

Dvě složité náhodné proměnné ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle W}$ jsou nazývány nesouvisí -li

{ displaystyle operatorname {K} _ {ZW} = operatorname {J} _ {ZW} = 0.}

Ortogonalita

Dvě složité náhodné proměnné ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle W}$ jsou nazývány ortogonální -li

{ displaystyle operatorname {E} [Z { overline {W}}] = 0}

.

Kruhová symetrie

Kruhová symetrie komplexních náhodných proměnných je běžným předpokladem používaným v oblasti bezdrátové komunikace. Typickým příkladem kruhové symetrické komplexní náhodné proměnné je komplexní Gaussova náhodná proměnná s nulovou střední a nulovou pseudo-kovarianční maticí.

Definice

Složitá náhodná proměnná ${ displaystyle Z}$ je kruhově symetrický, pokud pro jakýkoli deterministický ${ displaystyle phi v [- pi, pi]}$ , distribuce ${ displaystyle e ^ { mathrm {i} phi} Z}$ se rovná distribuci ${ displaystyle Z}$ .

Vlastnosti

Podle definice má kruhově symetrická komplexní náhodná proměnná

${ displaystyle operatorname {E} [Z] = operatorname {E} [e ^ { mathrm {i} phi} Z] = e ^ { mathrm {i} phi} operatorname {E} [Z ]}$ pro všechny ${ displaystyle phi}$ .

Očekávání kruhově symetrické komplexní náhodné proměnné tedy může být pouze nula nebo nedefinováno.

Dodatečně,

${ displaystyle operatorname {E} [ZZ] = operatorname {E} [e ^ { mathrm {i} phi} Ze ^ { mathrm {i} phi} Z] = e ^ { mathrm {2 } i phi} operatorname {E} [ZZ]}$ pro všechny ${ displaystyle phi}$ .

Pseudo-rozptyl kruhově symetrické komplexní náhodné proměnné tedy může být pouze nula.

Li ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle e ^ { mathrm {i} phi} Z}$ mají stejnou distribuci, fázi ${ displaystyle Z}$ musí být rovnoměrně rozloženy ${ displaystyle [- pi, pi]}$ a nezávisle na amplitudě ${ displaystyle Z}$ .^[4]

Správné složité náhodné proměnné

Koncept správných náhodných proměnných je jedinečný pro složité náhodné proměnné a nemá žádný odpovídající koncept se skutečnými náhodnými proměnnými.

Definice

Složitá náhodná proměnná ${ displaystyle Z}$ se nazývá správné, pokud jsou splněny všechny následující tři podmínky:

${ displaystyle operatorname {E} [Z] = 0}$
${ displaystyle operatorname {Var} [Z] < infty}$
${ displaystyle operatorname {E} [Z ^ {2}] = 0}$

Tato definice odpovídá následujícím podmínkám. To znamená, že složitá náhodná proměnná je správná tehdy a jen tehdy, když:

${ displaystyle operatorname {E} [Z] = 0}$
${ displaystyle operatorname {E} [ Re {(Z)} ^ {2}] = operatorname {E} [ Im {(Z)} ^ {2}] neq infty}$
${ displaystyle operatorname {E} [ Re {(Z)} Im {(Z)}] = 0}$

Kovarianční matice reálné a imaginární části

U obecné složité náhodné proměnné dvojice ${ displaystyle ( Re {(Z)}, Im {(Z)})}$ má kovarianční matice

{ displaystyle { begin {bmatrix} operatorname {Var} [ Re {(Z)}] & operatorname {Cov} [ Re {(Z)}, Im {(Z)}] operatorname {Cov} [ Re {(Z)}, Im {(Z)}] & operatorname {Var} [ Im {(Z)}] end {bmatrix}}.}

Avšak pro správnou složitou náhodnou proměnnou je kovarianční matice páru ${ displaystyle ( Re {(Z)}, Im {(Z)})}$ má následující jednoduchou formu:

{ displaystyle { begin {bmatrix} { frac {1} {2}} operatorname {Var} [Z] & 0 0 & { frac {1} {2}} operatorname {Var} [Z] konec {bmatrix}}}

.

Teorém

Každá kruhově symetrická komplexní náhodná proměnná s konečnou odchylkou je správná.

Cauchy-Schwarzova nerovnost

The Cauchy-Schwarzova nerovnost pro složité náhodné proměnné, které lze odvodit pomocí Nerovnost trojúhelníku a Hölderova nerovnost, je

{ displaystyle left | operatorname {E} left [Z { overline {W}} right] right | ^ {2} leq left | operatorname {E} left [ left | Z { overline {W}} right | right] right | ^ {2} leq operatorname {E} left [| Z | ^ {2} right] operatorname {E} left [| W | ^ {2} vpravo]}

.

Charakteristická funkce

The charakteristická funkce komplexní náhodné proměnné je funkce ${ displaystyle mathbb {C} až mathbb {C}}$ definován

{ displaystyle varphi _ {Z} ( omega) = operatorname {E} left [e ^ {i Re {({ overline { omega}} Z)}} right] = operatorname {E } left [e ^ {i ( Re {( omega)} Re {(Z)} + Im {( omega)} Im {(Z)})} right].}

Viz také

Složitý náhodný vektor

Reference

^ Eriksson, Jan; Ollila, Esa; Koivunen, Visa (2009). Msgstr "Statistiky komplexních náhodných proměnných byly znovu navštíveny". Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Lapidoth, A. (2009). Nadace v digitální komunikaci. Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.
^ ^A ^b ^C Park, Kun Il (2018). Základy pravděpodobnosti a stochastické procesy s aplikacemi v komunikaci. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
^ Peter J. Schreier, Louis L. Scharf (2011). Statistické zpracování signálu komplexně hodnotných dat. Cambridge University Press. ISBN 9780511815911.

[1] Eriksson, Jan; Ollila, Esa; Koivunen, Visa (2009). Msgstr "Statistiky komplexních náhodných proměnných byly znovu navštíveny". Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[2] Lapidoth, A. (2009). Nadace v digitální komunikaci. Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.

[KunIlPark-3] A ^b ^C Park, Kun Il (2018). Základy pravděpodobnosti a stochastické procesy s aplikacemi v komunikaci. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.

[4] Peter J. Schreier, Louis L. Scharf (2011). Statistické zpracování signálu komplexně hodnotných dat. Cambridge University Press. ISBN 9780511815911.

[1]

[2]

[3]

[4]