Kompletní skupina - Complete group

v matematika, a skupina, $G$ , se říká, že je kompletní pokud každý automorfismus z $G$ je vnitřní, a je bez centra; to znamená, že má triviální vnější skupina automorfismu a triviální centrum.

Ekvivalentně je skupina úplná, pokud mapa konjugace, $G \to Aut (G)$ (odeslání prvku $G$ ke konjugaci $G$ ), je izomorfismus: injektivita znamená, že pouze konjugace s prvkem identity je automorfismus identity, což znamená, že skupina je bez centra, zatímco surjektivita znamená, že nemá žádné vnější automorfismus.

Příklady

Jako příklad lze uvést všechny symetrické skupiny, $S n$ , jsou úplné kromě případů, kdy $n \in {2, 6}$ . Pro případ $n = 2$ , skupina má netriviální centrum, zatímco pro případ $n = 6$ , tady je vnější automorfismus.

Automorfická skupina jednoduché skupiny, $G$ , je téměř jednoduchá skupina; pro neabeliana jednoduchá skupina, $G$ , skupina automorfismu z $G$ je kompletní.

Vlastnosti

Kompletní skupina je vždy izomorfní k jeho skupina automorfismu (prostřednictvím odeslání prvku do konjugace s tímto prvkem), i když opak nemusí platit: například dihedrální skupina 8 prvků je izomorfní s jeho skupinou automorfismu, ale není úplný. Diskuse viz (Robinson 1996, oddíl 13.5).

Rozšíření úplných skupin

Předpokládejme, že skupina $G$ , je rozšíření skupiny dané jako krátká přesná sekvence skupin

1 ⟶ N ⟶ G ⟶ G' ⟶ 1

s jádro, $N$ a kvocient, $G'$ . Pokud jádro, $N$ , je úplná skupina, pak se rozšíření rozdělí: $G$ je izomorfní do přímý produkt, $N \times G'$ . Důkaz používající homomorfismy a přesné sekvence lze předložit přirozeným způsobem: Působení $G$ (podle časování ) v normální podskupině, $N$ dává vzniknout a skupinový homomorfismus, $φ: G \to Aut (N) ≅ N$ . Od té doby $Ven(N) = 1$ a $N$ má banální centrum homomorfismus $φ$ je surjektivní a má zřejmou část danou zahrnutím $N$ v $G$ . Jádro $φ$ je centralizátor $C G (N)$ z $N$ v $G$ a tak $G$ je alespoň a polopřímý produkt, $C G (N) ⋊ N$ , ale akce $N$ na $C G (N)$ je triviální, a proto je produkt přímý. Tento důkaz je poněkud zajímavý, protože původní přesná sekvence je během testu obrácena.

To lze přepracovat z hlediska prvků a vnitřních podmínek: Pokud $N$ je normální, úplná podskupina skupiny, $G$ , pak $G = C. G (N) \times N$ je přímý produkt. Důkaz vyplývá přímo z definice: $N$ je dávání bez centra $C G (N) \cap N$ je triviální. Li $G$ je prvek $G$ pak to vyvolává automorfismus $N$ konjugací, ale $N = Aut (N)$ a tato konjugace se musí rovnat konjugaci nějakým prvkem $n$ z $N$ . Potom konjugace $gn -1$ je identita na $N$ a tak $gn -1$ je v $C G (N)$ a každý prvek, $G$ , z $G$ je produkt $(gn -1) n$ v $C G (N) N$ .

Reference

Robinson, Derek John Scott (1996), Kurz teorie skupin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6
Rotman, Joseph J. (1994), Úvod do teorie grup, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8 (kapitola 7, zejména věty 7.15 a 7.17).

externí odkazy

Joel David Hamkins: Jak vysoká je věž automorfismu skupiny?