Laplace funkční - Laplace functional

v teorie pravděpodobnosti, a Laplace funkční odkazuje na jednu ze dvou možných matematických funkcí funkcí nebo přesněji funkcionáři které slouží jako matematické nástroje pro studium buď bodové procesy nebo koncentrace opatření vlastnosti metrické prostory. Jeden typ funkčního Laplace,^[1][2] také známý jako a charakteristický funkční^[A] je definován ve vztahu k bodovému procesu, který lze interpretovat jako míry náhodného počítání, a má aplikace při charakterizaci a odvozování výsledků bodových procesů.^[5] Jeho definice je analogická k a charakteristická funkce pro náhodná proměnná.

Druhá funkce Laplace je pro pravděpodobnostní prostory vybaven metriky a používá se ke studiu koncentrace opatření vlastnosti prostoru.

Definice pro bodové procesy

Pro obecný bodový proces ${ displaystyle textstyle N}$ definováno dne ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$, funkce Laplace je definována jako:^[6]

${ displaystyle L_ {N} (f) = E [e ^ {- int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx)}],}$

kde ${ displaystyle textstyle f}$ je jakýkoli měřitelný nezáporné funkce zapnuta ${ displaystyle textstyle { textbf {R}} ^ {d}}$ a

${ displaystyle int _ {{ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx) = součet limity _ {x_ {i} v N} f (x_ {i} ).}$

kde notace ${ displaystyle N (dx)}$ interpretuje bodový proces jako a náhodný počítání opatření; vidět Bodová notace procesu.

Aplikace

Funkce Laplace charakterizuje bodový proces, a pokud je známý pro bodový proces, lze jej použít k prokázání různých výsledků.^[2][6]

Definice pro míry pravděpodobnosti

Pro nějaký prostor metrické pravděpodobnosti (X, d, μ), kde (X, d) je metrický prostor a μ je míra pravděpodobnosti na Sady Borel z (X, d), Laplace funkční:

${ displaystyle E _ {(X, d, mu)} ( lambda): = sup left { left. int _ {X} e ^ { lambda f (x)} , mathrm { d} mu (x) right | f colon X to mathbb {R} { text {je ohraničený, 1-Lipschitz a má}} int _ {X} f (x) , mathrm { d} mu (x) = 0 vpravo }.}$

Laplaceovy funkční mapy od kladné reálné čáry po kladnou (prodlouženou) skutečnou čáru nebo v matematickém zápisu:

${ displaystyle E _ {(X, d, mu)} dvojtečka [0, + infty) až [0, + infty]}$

Aplikace

Laplaceova funkce (X, d, μ) lze použít k navázání koncentrační funkce (X, d, μ), který je definován pro r > 0 o

${ displaystyle alpha _ {(X, d, mu)} (r): = sup {1- mu (A_ {r}) mid A subseteq X { text {and}} mu (A) geq { tfrac {1} {2}} },}$

kde

${ displaystyle A_ {r}: = {x v X mid d (x, A) leq r }.}$

Laplaceova funkce (X, d, μ) pak vede k horní hranici:

${ displaystyle alpha _ {(X, d, mu)} (r) leq inf _ { lambda geq 0} e ^ {- lambda r / 2} E _ {(X, d, mu )} ( lambda).}$

Poznámky

Reference

• Ledoux, Michel (2001). Koncentrace fenoménu opatření. Matematické průzkumy a monografie. 89. Providence, RI: American Mathematical Society. str. x + 181. ISBN  0-8218-2864-9. PAN1849347