Řeznická skupina - Butcher group
v matematika, Řeznická skupina, pojmenovaný podle novozélandského matematika John C. Butcher podle Hairer & Wanner (1974), je nekonečně dimenzionální Lež skupina[1] poprvé představen v numerická analýza studovat řešení nelineárních obyčejné diferenciální rovnice podle Metoda Runge – Kutta. Vzniklo z algebraického formalismu zahrnujícího zakořeněné stromy který poskytuje formální mocenské řady řešení diferenciální rovnice modelování toku a vektorové pole. to bylo Cayley (1857), výzva od práce Sylvester o změně proměnných v diferenciální počet, který nejprve poznamenal, že derivace složení funkcí lze pohodlně vyjádřit pomocí kořenových stromů a jejich kombinatoriky.
Connes & Kreimer (1999) poukázal na to, že skupina Butcher je skupina postav skupiny Hopfova algebra zakořeněných stromů, které vznikly samostatně při jejich vlastní práci renormalizace v kvantová teorie pole a Connes ' pracovat s Moscovici na místní věty o indexu. Tato Hopfova algebra, často nazývaná Connes-Kreimerova algebra, je v zásadě ekvivalentní skupině Butcher, protože její duální lze identifikovat s univerzální obalová algebra z Lež algebra skupiny řezníků.[2] Jak komentovali:
Butcherovu práci na klasifikaci metod numerické integrace považujeme za působivý příklad, že konkrétní problémově orientovaná práce může vést k dalekosáhlým koncepčním výsledkům.
Diferenciály a zakořeněné stromy

Zakořeněný strom je a graf s rozlišovacím uzlem, zvaným vykořenit, ve kterém je každý další uzel spojen s kořenem jedinečnou cestou. Pokud kořen stromu t je odstraněn a uzly spojené s původním uzlem jednoduchou vazbou jsou brány jako nové kořeny, strom t rozpadá se na zakořeněné stromy t1, t2, ... Obrácení tohoto procesu nový strom t = [t1, t2, ...] lze vytvořit spojením kořenů stromů s novým společným kořenem. Počet uzlů ve stromu je označen |t|. A hromadné objednávání zakořeněného stromu t je rozdělení čísel 1 až |t| k uzlům, aby se počty zvyšovaly na jakékoli cestě od kořene. Dvě hromadné objednávky jsou ekvivalent, pokud existuje automorfismus zakořeněných stromů mapujících jeden z nich na druhém. Počet třídy ekvivalence uspořádání haldy na konkrétním stromu je označeno α (t) a lze jej vypočítat pomocí Butcherova vzorce:[3][4]
kde St označuje skupina symetrie z t a faktor faktoru stromu je definován rekurzivně
s faktorem stromu izolovaného kořene definovaným jako 1
Obyčejná diferenciální rovnice pro tok a vektorové pole na otevřené podmnožině U z RN lze psát
kde X(s) bere hodnoty v U, F je plynulá funkce od U na RN a X0 je počáteční bod toku v čase s = 0.
Cayley (1857) poskytl metodu pro výpočet derivátů vyššího řádu X(m)(s), pokud jde o zakořeněné stromy. Jeho vzorec lze pohodlně vyjádřit pomocí základní diferenciály představil Butcher. Ty jsou definovány indukčně pomocí
S touto notací
což rozšiřuje výkonové řady
Jako příklad, když N = 1, takže X a F jsou reálné funkce jedné reálné proměnné, výtěžek vzorce
kde čtyři výrazy odpovídají čtyřem zakořeněným stromům zleva doprava na obrázku 3 výše.
V jedné proměnné je tento vzorec stejný jako Vzorec Faà di Bruno z roku 1855; v několika proměnných však musí být do formuláře zapsáno opatrněji
kde je rozhodující stromová struktura.
Definice pomocí Hopfovy algebry kořenových stromů
The Hopfova algebra H kořenových stromů bylo definováno Connes & Kreimer (1998) ve spojení s Kreimer předchozí práce na renormalizace v kvantová teorie pole. Později bylo zjištěno, že Hopfova algebra byla duálem Hopfovy algebry definované dříve Grossman & Larsen (1989) v jiném kontextu. Postavy H, tj. homomorfismy podkladové komutativní algebry do R, tvoří skupinu nazvanou Řeznická skupina. Odpovídá to formální skupina struktura objevená v numerická analýza podle Butcher (1972).
The Hopfova algebra zakořeněných stromů H je definován jako polynomiální kruh v proměnných t, kde t protéká zakořeněnými stromy.
- Své komplikace je definováno
kde součet přesahuje všechny správné zakořeněné podstromy s z t; je monomiál daný produktem proměnných ti tvořené zakořeněnými stromy, které vznikají vymazáním všech uzlů s a připojené odkazy z t. Počet takových stromů je označen n(ts).
- Své počítat je homomorfismus ε z H do R odeslání každé proměnné t na nulu.
- Své antipod S lze definovat rekurzivně podle vzorce
The Řeznická skupina je definována jako množina homomorfismů algebry φ z H do R se strukturou skupiny
Inverze ve skupině Butcher je dána
a identita podle počtu ε.
Pomocí komplexních koeficientů při konstrukci Hopfovy algebry kořenových stromů se získá komplexní Hopfova algebra kořenových stromů. C-hodnotové znaky tvoří skupinu nazvanou komplexní řeznická skupina G.C. Složitá řeznická skupina GC je nekonečně dimenzionální komplexní Lieova skupina[1] který se v modelu zobrazí jako model hračky § Renormalizace kvantových teorií pole.
Řeznická série a metoda Runge – Kutta
Nelineární obyčejná diferenciální rovnice
lze vyřešit přibližně pomocí Metoda Runge-Kutta. Toto iterační schéma vyžaduje m X m matice
a vektor
s m komponenty.
Schéma definuje vektory Xn tím, že nejprve najde řešení X1, ... , Xm z
a poté nastavení
Řezník (1963) ukázaly, že řešení odpovídajících obyčejných diferenciálních rovnic
má rozšíření energetické řady
kde φj a φ jsou určeny rekurzivně pomocí
a
Mocná řada výše se nazývá Řada B. nebo Řeznická série.[3][5] Odpovídající přiřazení φ je prvek skupiny Butcher. Homomorfismus odpovídající skutečnému toku má
Řezník ukázal, že metoda Runge-Kutta dává naproximace skutečného toku v pořadí, za předpokladu, že φ a Φ souhlasí se všemi stromy n uzly nebo méně. Navíc, Butcher (1972) ukázal, že homomorfismy definované metodou Runge-Kutta tvoří hustou podskupinu Butcherovy skupiny: ve skutečnosti ukázal, že vzhledem k homomorfismu φ 'existuje Runge-Kutta homomorphism φ souhlasící s φ' na objednávku n; a že pokud jsou dány homomorfy φ a φ 'odpovídající Runge-Kuttovým datům (A, b) a (A' , b ' ), homomorfismus produktu odpovídá údajům
Hairer & Wanner (1974) dokázal, že skupina řezníků na funkce působí přirozeně F. Opravdu, nastavení
dokázali to
Lež algebra
Connes & Kreimer (1998) ukázal, že je to spojeno se skupinou řezníků G je nekonečně trojrozměrná Lieova algebra. Existenci této Lieovy algebry předpovídá a teorém z Milnor & Moore (1965): komutativita a přirozená známka na H znamená, že odstupňovaný dual H* lze identifikovat pomocí univerzální obalová algebra lže algebry . Connes a Kreimer výslovně identifikují s mezerou derivace θ z H do R, tj. lineární mapy takové
formální tangenta prostoru G při identitě ε. Toto vytváří Lieovu algebru s Lieovou závorkou
je generován derivacemi θt definován
pro každý zakořeněný strom t.
Nekonečno-dimenzionální Lieova algebra z Connes & Kreimer (1998) a Lieova algebra L (G) Butcherovy skupiny jako nekonečně dimenzionální Lieovy skupiny nejsou stejné. Lieova algebra L (G) lze identifikovat pomocí Lieovy algebry všech derivací v duálu H (tj. prostor všech lineárních map z H na R), zatímco se získává z odstupňovaného duálu. Proto Ukázalo se, že je (přísně menší) Lieova subalgebra L (G).[1]
Renormalizace
Connes & Kreimer (1998) poskytl obecný kontext pro použití Hopfova algebraická metody pro získání jednoduché matematické formulace renormalizace v kvantová teorie pole. Renormalizace byla interpretována jako Birkhoffova faktorizace smyček ve skupině znaků přidružené Hopfovy algebry. Modely, které zvažuje Kreimer (1999) měl Hopfovu algebru H a skupina postav G, řeznická skupina. Brouder (2000) poskytl popis tohoto procesu renormalizace, pokud jde o data Runge-Kutta.
V tomto zjednodušeném nastavení a obnovitelný model má dvě vstupní data:[6]
- sada Feynman vládne daný homomorfismem algebry Φ z H do algebry PROTI z Laurentova řada v z s póly konečného řádu;
- A renormalizační schéma dané lineárním operátorem R na PROTI takhle R uspokojuje Identita Rota-Baxter
- a obraz R – id leží v algebře PROTI+ z výkonová řada v z.
Všimněte si, že R uspokojuje identitu Rota-Baxter právě tehdy id – R dělá. Důležitým příkladem je schéma minimálního odčítání
Kromě toho je zde projekce P z H na augmentace ideální ker ε dané
Chcete-li definovat renormalizovaná Feynmanova pravidla, nezapomeňte, že je to protipól S splňuje
aby
The renormalizovaná Feynmanova pravidla jsou dány homomorfismem z H do PROTI získáno zkroucením homomorfismu S. • S. Homomorfismus je jednoznačně specifikováno
Kvůli přesné formě Δ to dává rekurzivní vzorec pro .
Pro schéma minimálního odčítání lze tento proces interpretovat z hlediska Birkhoffovy faktorizace ve složité Butcherově skupině. Φ lze považovat za mapu γ jednotkové kružnice do komplexizace GC z G (mapuje do C namísto R). Jako takový má Birkhoffovu faktorizaci
kde γ+ je holomorfní na vnitřku uzavřeného disku jednotky a γ– je holomorfní na svém doplňku v Riemannova koule C s γ–(∞) = 1. Smyčka γ+ odpovídá renormalizovanému homomorfismu. Hodnocení na z = 0 z γ+ nebo renormalizovaný homomorfismus dává rozměrově legalizováno hodnoty pro každý kořenový strom.
Například Feynmanova pravidla závisí na dalším parametru μ, „jednotce hmotnosti“. Connes & Kreimer (2001) to ukázal
takže γμ– je nezávislý na μ.
Složitá skupina řezníků přichází s přirozenou jednoparametrovou skupinou λw automorfismů, k tomu dvojí H
pro w ≠ 0 palců C.
Smyčky γμ a λw · Γμ mají stejnou negativní část a pro t nemovitý,
definuje jednoparametrovou podskupinu komplexní skupiny Butcher GC volal tok renormalizační skupiny (RG).
Jeho nekonečně malý generátor β je prvkem Lieovy algebry GC a je definována
Říká se tomu beta funkce modelu.
V kterémkoli daném modelu obvykle existuje konečný rozměrný prostor komplexních vazebných konstant. Složitá skupina řezníků působí v tomto prostoru diffeomorfismy. Zejména skupina pro normalizaci definuje tok v prostoru vazebních konstant, přičemž funkce beta dává odpovídající vektorové pole.
Obecnější modely v teorii kvantového pole vyžadují nahrazení kořenových stromů Feynmanovy diagramy s vrcholy zdobenými symboly z množiny konečných indexů. Connes a Kreimer v tomto nastavení také definovali Hopfovy algebry a ukázali, jak je lze použít k systematizaci standardních výpočtů v teorii renormalizace.
Příklad
Kreimer (2007) poskytla "model hračky" zahrnující dimenzionální regularizace pro H a algebra PROTI. Li C je kladné celé číslo a qμ = q / μ je bezrozměrná konstanta, Feynmanova pravidla lze definovat rekurzivně pomocí
kde z = 1 – D/ 2 je parametr regularizace. Tyto integrály lze vypočítat výslovně z hlediska Funkce gama pomocí vzorce
Zejména
Vezmeme-li schéma renormalizace R minimálního odčítání, renormalizované veličiny jsou polynomy v při hodnocení na z = 0.
Poznámky
- ^ A b C Bogfjellmo & Schmeding 2015
- ^ Brouder 2004
- ^ A b Řezník 2008
- ^ Brouder 2000
- ^ Jackson, K. R .; Kværnø, A .; Nørsett, S.P. (1994), „The use of Butcher series in an analysis of Newton-like iterations in Runge-Kutta formulas“, Aplikovaná numerická matematika, 15 (3): 341–356, CiteSeerX 10.1.1.42.8612, doi:10.1016 / 0168-9274 (94) 00031-X (Zvláštní vydání na počest profesora J. C. Butchera k jeho šedesátým narozeninám)
- ^ Kreimer 2007
Reference
- Bergbauer, Christoph; Kreimer, Dirk (2005), „Hopfova algebra zakořeněných stromů při Epstein-Glaserově renormalizaci“, Annales Henri Poincaré, 6 (2): 343–367, arXiv:hep-th / 0403207, Bibcode:2005AnHP .... 6..343B, doi:10.1007 / s00023-005-0210-3
- Boutet de Monvel, Louis (2003), „Algèbre de Hopf des diagrammes de Feynman, renormalisation et factorisation de Wiener-Hopf (d'après A. Connes et D. Kreimer). [Hopfova algebra Feynmanových diagramů, renormalizace a Wiener-Hopfova faktorizace (po A. Connesovi a D. Kreimer)] " (PDF), Astérisque, Seminář Bourbaki, 290: 149–165
- Brouder, Christian (2000), „Runge – Kuttovy metody a renormalizace“, Eur. Phys. J. C., 12 (3): 521–534, arXiv:hep-th / 9904014, Bibcode:2000EPJC ... 12..521B, doi:10,1007 / s100529900235
- Bogfjellmo, G .; Schmeding, A. (2015), „The Lie group structure of the Butcher group“, Základy výpočetní matematiky, 17 (1): 127–159, arXiv:1410.4761, doi:10.1007 / s10208-015-9285-5
- Brouder, Christian (2004), "Stromy, renormalizace a diferenciální rovnice", BIT Numerická matematika, 44 (3): 425–438, CiteSeerX 10.1.1.180.7535, doi:10.1023 / B: BITN.0000046809.66837.cc
- Butcher, J.C. (1963), „Koeficienty pro studium integračních procesů Runge-Kutta“, J. Austral. Matematika. Soc., 3 (2): 185–201, doi:10.1017 / S1446788700027932
- Butcher, J.C. (1972), „Algebraická teorie integračních metod“, Matematika. Comput., 26 (117): 79–106, doi:10.2307/2004720, JSTOR 2004720
- Řezník, John C. (2008), Numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice (2. vyd.), John Wiley & Sons Ltd., ISBN 978-0-470-72335-7, PAN 2401398
- Butcher, J.C. (2009), „Stromy a numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice“, Numerické algoritmy, 53 (2–3): 153–170, doi:10.1007 / s11075-009-9285-0
- Cayley, Arthur (1857), „K teorii analytických forem zvaných stromy“, Filozofický časopis, XIII: 172–176 (také ve svazku 3 Sebraných děl Cayleyho, strany 242–246)
- Connes, Alain; Kreimer, Dirk (1998), „Hopfovy algebry, renormalizace a nekomutativní geometrie“ (PDF), Komunikace v matematické fyzice, 199 (1): 203–242, arXiv:hep-th / 9808042, Bibcode:1998CMaPh.199..203C, doi:10,1007 / s002200050499
- Connes, Alain; Kreimer, Dirk (1999), „Poučení z teorie kvantového pole: Hopfovy algebry a geometrie časoprostoru“, Dopisy z matematické fyziky, 48: 85–96, doi:10.1023 / A: 1007523409317
- Connes, Alain; Kreimer, Dirk (2000), „Renormalizace v kvantové teorii pole a Riemann-Hilbertův problém. I. Hopfova algebraová struktura grafů a hlavní věta“ (PDF), Commun. Matematika. Phys., 210 (1): 249–273, arXiv:hep-th / 9912092, Bibcode:2000CMaPh.210..249C, doi:10,1007 / s002200050779
- Connes, Alain; Kreimer, Dirk (2001), „Renormalizace v teorii kvantového pole a Riemann-Hilbertův problém. II. Funkce β, difeomorfismy a skupina renormalizace“ (PDF), Commun. Matematika. Phys., 216 (1): 215–241, arXiv:hep-th / 0003188, Bibcode:2001CMaPh.216..215C, doi:10.1007 / PL00005547
- Gracia-Bondía, José; Várilly, Joseph C .; Figueroa, Héctor (2000), Prvky nekomutativní geometrie, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4124-5, Kapitola 14.
- Grossman, R .; Larson, R. (1989), "Hopfovy algebraické struktury rodin stromů" (PDF), Journal of Algebra, 26: 184–210, doi:10.1016/0021-8693(89)90328-1, archivovány z originál (PDF) dne 2008-08-20
- Hairer, E .; Wanner, G. (1974), „O řeznické skupině a obecných vícehodnotových metodách“, Výpočetní, 13: 1–15, doi:10.1007 / BF02268387
- Kreimer, Dirk (1998), „O Hopfově algebrické struktuře poruchových kvantových teorií pole“, Adv. Teor. Matematika. Phys., 2 (2): 303–334, arXiv:q-alg / 9707029, Bibcode:1997q.alg ..... 7029 tis, doi:10.4310 / ATMP.1998.v2.n2.a4
- Kreimer, Dirk (1999), „Chenův iterovaný integrál představuje rozšíření produktu operátora“, Adv. Teor. Matematika. Phys., 3 (3): 627–670, arXiv:hep-th / 9901099, Bibcode:1999hep.th .... 1099 tis, doi:10.4310 / ATMP.1999.v3.n3.a7
- Kreimer, Dirk (2007), Faktorizace v teorii kvantového pole: Cvičení v Hopfových algebrách a místních singularitách, Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II, Springer, str. 715–736, arXiv:hep-th / 0306020, Bibcode:2003hep.th .... 6020K
- Milnor, John Willard; Moore, John C. (1965), „Na struktuře Hopfových algeber“, Annals of Mathematics, Druhá série, 81 (2): 211–264, doi:10.2307/1970615, JSTOR 1970615, PAN 0174052