Augmentace ideální - Augmentation ideal

v algebra, an augmentace ideální je ideál které lze definovat v libovolném skupinové vyzvánění.

Li G je skupina a R A komutativní prsten, tady je kruhový homomorfismus ${ displaystyle varepsilon}$, nazvaný augmentační mapa, ze skupinového kruhu ${ displaystyle R [G]}$ na ${ displaystyle R}$, definovaný převzetím (konečné^{[Poznámka 1]}) součet ${ displaystyle součet r_ {i} g_ {i}}$ na ${ displaystyle sum r_ {i}.}$ (Tady ${ displaystyle r_ {i} v R}$ a ${ displaystyle g_ {i} v G}$.) Méně formálně ${ displaystyle varepsilon (g) = 1_ {R}}$ pro jakýkoli prvek ${ displaystyle g v G}$, ${ displaystyle varepsilon (r) = r}$ pro jakýkoli prvek ${ displaystyle r v R}$, a ${ displaystyle varepsilon}$ je poté rozšířen na homomorfismus z R-moduly zjevným způsobem.

The augmentace ideální A je jádro z ${ displaystyle varepsilon}$ a je tedy a oboustranný ideál v R[G].

A je generován rozdíly ${ displaystyle g-g '}$ skupinových prvků. Ekvivalentně to také generuje ${ displaystyle {g-1: g v G }}$, což je základ jako zdarma R-modul.

Pro R a G jak je uvedeno výše, skupinový kruh R[G] je příkladem rozšířené R-algebra. Taková algebra je vybavena prstencovým homomorfismem R. Jádro tohoto homomorfismu je ideálním rozšířením algebry.

Ideální augmentace hraje základní roli v skupinová kohomologie, mimo jiné aplikace.

Příklady kvocientů podle ideálu augmentace

• Nechat G skupina a ${ displaystyle mathbb {Z} [G]}$ skupinový kruh přes celá čísla. Nechat Já označit ideál augmentace ${ displaystyle mathbb {Z} [G]}$. Pak kvocient Já/Já² je izomorfní s abelianizací G, definovaný jako kvocient z G jeho podskupinou komutátorů.
• Složitá reprezentace PROTI skupiny G je ${ displaystyle mathbb {C} [G]}$ - modul. Mincovníky z PROTI pak lze popsat jako kvocient z PROTI podle IV, kde Já je augmentace ideální v ${ displaystyle mathbb {C} [G]}$.
• Další třídou příkladů augmentačního ideálu může být jádro z počítat ${ displaystyle varepsilon}$ ze všech Hopfova algebra.

Poznámky

Reference

• D. L. Johnson (1990). Prezentace skupin. Studentské texty London Mathematical Society. 15. Cambridge University Press. 149–150. ISBN  0-521-37203-8.
• Dummit and Foote, Abstract Algebra