Geometrická konečnost - Geometric finiteness

v geometrie, skupina izometrie z hyperbolický prostor je nazýván geometricky konečný pokud se chová dobře základní doména. Hyperbolický potrubí je nazýván geometricky konečný pokud to lze popsat z hlediska geometricky konečného skupiny.

Geometricky konečná mnohostěna

A konvexní mnohostěn C v hyperbolickém prostoru se nazývá geometricky konečný, pokud je jeho uzavření C v konformním zhutnění hyperbolického prostoru má následující vlastnost:

• Za každý bod X v C, existuje sousedství U tak, že všechny tváře C Setkání U také projít X (Ratcliffe 1994, 12.4).

Například každý mnohostěn s konečným počtem ploch je geometricky konečný. V hyperbolickém prostoru dimenze nanejvýš 2 má každý geometricky konečný mnohostěn konečný počet stran, ale existují geometricky konečné mnohostěny v dimenzích 3 a výše s nekonečně mnoha stranami. Například v euklidovském prostoru Rⁿ dimenze n≥2 existuje mnohostěn P s nekonečným počtem stran. Horní polovina rovinného modelu n+1 rozměrný hyperbolický prostor v Rⁿ⁺¹ projekty do Rⁿa inverzní obraz P pod touto projekcí je geometricky konečný mnohostěn s nekonečným počtem stran.

Geometricky konečný mnohostěn má pouze konečný počet vrcholů a všechny, až na konečně mnoho stran, se setkávají s jedním z vrcholů.

Geometricky konečné skupiny

Diskrétní skupina G izometrií hyperbolického prostoru se nazývá geometricky konečný pokud má základní doménu C to je konvexní, geometricky konečné a přesné (každá plocha je průsečík) C a gC pro některé G ∈ G) (Ratcliffe 1994, 12.4).

V hyperbolických prostorech dimenze nejvýše 3 má každý přesný, konvexní, základní mnohostěn pro geometricky konečnou skupinu pouze konečný počet stran, ale v dimenzích 4 a výše existují příklady s nekonečným počtem stran (Ratcliffe 1994, věta 12.4.6).

V hyperbolických prostorech dimenze maximálně 2 jsou konečně generované diskrétní skupiny geometricky konečné, ale Greenberg (1966) ukázal, že existují příklady konečně generovaných diskrétních skupin v dimenzi 3, které nejsou geometricky konečné.

Geometricky konečné rozdělovače

Hyperbolické potrubí se nazývá geometricky konečný pokud má konečný počet složek, z nichž každá je podílem hyperbolického prostoru geometricky konečnou samostatnou skupinou izometrií (Ratcliffe 1994, 12.7).

Reference

• Greenberg, L. (1966), „Základní mnohostěn pro kleinské skupiny“, Annals of Mathematics, Druhá série, 84: 433–441, doi:10.2307/1970456, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970456, PAN  0200446
• Ratcliffe, John G. (1994), Základy hyperbolických variet, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94348-0