Opletený vektorový prostor - Braided vector space - Wikipedia

V matematice, a pletené vektorový prostor ${ displaystyle ; V}$ je vektorový prostor společně s další mapou struktury ${ displaystyle tau}$ symbolizující zaměňovat dvou vektorů tenzorové kopie:

${ displaystyle tau: ; V otimes V longrightarrow V otimes V}$

takové, že Yang – Baxterova rovnice je splněn. Proto kresba tenzorové diagramy s ${ displaystyle tau}$ an křížení odpovídající složený morfismus se nezmění, když a Reidemeister tah se aplikuje na tenzorový diagram a tak představují reprezentaci skupina copu.

Jako první příklad je každý vektorový prostor opleten pomocí triviálního opletení (jednoduše převrácení)^{[je zapotřebí objasnění ]}. A nadprostor má opletení se záporným znaménkem v opletení dvou zvláštní vektory. Obecněji, a diagonální opletení znamená, že pro ${ displaystyle ; V}$-základna ${ displaystyle x_ {i}}$ my máme

${ displaystyle tau (x_ {i} otimes x_ {j}) = q_ {ij} (x_ {j} otimes x_ {i})}$

Dobrý zdroj pro celé pletené vektorové prostory pletené monoidní kategorie s opletením mezi libovolnými objekty ${ displaystyle tau _ {V, W}}$, nejdůležitější je, že moduly skončily quasitriangular Hopfovy algebry a Moduly Yetter – Drinfeld nad konečnými skupinami (např ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ výše)

Li ${ displaystyle V}$ navíc má struktura algebry uvnitř pletené kategorie ("pletená algebra") má jeden pletený komutátor (např. pro nadprostor the antikomutátor ):

${ displaystyle ; [x, y] _ { tau}: = mu ((x ot y) - tau (x ot y)) qquad mu (x ot y): = xy}$

Příklady takových pletených algeber (a dokonce Hopfovy algebry ) jsou Nicholsovy algebry, které jsou podle definice generovány daným opleteným vektorovým prostorem. Vypadají jako kvantová součást Borela kvantové skupiny a často (např. když jsou konečné nebo nad abelianskou skupinou) mají aritmetický kořenový systém, více Dynkinovy ​​diagramy a a Základ PBW složené z pletených komutátorů stejně jako ty v napůl jednoduché Lie algebry.

^[1]

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.