Kategorie Yetter – Drinfeld - Yetter–Drinfeld category

v matematika A Kategorie Yetter – Drinfeld je speciální typ pletená monoidní kategorie. Skládá se z moduly přes Hopfova algebra které uspokojují některé další axiomy.

Definice

Nechat H být Hopfovou algebrou nad a pole k. Nechat ${displaystyle Delta}$ označit koprodukt a S the antipod z H. Nechat PROTI být vektorový prostor přes k. Pak PROTI se nazývá (vlevo vlevo) Modul Yterter – Drinfeld skončil H -li

• ${displaystyle (V, {oldsymbol {.}})}$ je levice H-modul, kde ${displaystyle {oldsymbol {.}}: Hotimes V o V}$ označuje akci vlevo od H na PROTI,
• ${displaystyle (V, delta;)}$ je levice H-modul, kde ${displaystyle delta: V o Hotimes V}$ označuje levou součinnost H na PROTI,
• mapy ${displaystyle {oldsymbol {.}}}$ a ${displaystyle delta}$ splňují podmínku kompatibility

${displaystyle delta (h {oldsymbol {.}} v) = h _ {(1)} v _ {(- 1)} S (h _ {(3)}) často h _ {(2)} {oldsymbol {.}} v_ {(0)}}$ pro všechny ${displaystyle hin H, vin V}$,

kde pomocí Sweedlerova notace, ${displaystyle (Delta otimes mathrm {id}) Delta (h) = h _ {(1)} otimes h _ {(2)} otimes h _ {(3)} v Hotimes Hotimes H}$ označuje dvojí koprodukt ${displaystyle hin H}$, a ${displaystyle delta (v) = v _ {(- 1)} mnohokrát v _ {(0)}}$.

Příklady

• Nějaké zbytky H- modul nad kooperativní Hopfovou algebrou H je modul Yetter – Drinfeld s triviální levou spoluprací ${displaystyle delta (v) = 1otimes v}$.
• Triviální modul ${displaystyle V = k {v}}$ s ${displaystyle h {oldsymbol {.}} v = epsilon (h) v}$, ${displaystyle delta (v) = 1otimes v}$, je modul Yetter – Drinfeld pro všechny Hopfovy algebry H.
• Li H je skupinová algebra kg z abelianská skupina G, pak moduly Yetter – Drinfeld H jsou přesně G- hodnoceno G- moduly. Tohle znamená tamto

${displaystyle V = igoplus _ {gin G} V_ {g}}$,

kde každý ${displaystyle V_ {g}}$ je G-modul z PROTI.

• Obecněji, pokud skupina G není abelian, pak moduly Yetter – Drinfeld přes H = kG jsou G- moduly s a G-gradace

${displaystyle V = igoplus _ {gin G} V_ {g}}$, takový, že ${displaystyle g.V_ {h} podmnožina V_ {ghg ^ {- 1}}}$.

• Přes základní pole ${displaystyle k = mathbb {C};}$ Všechno konečně-dimenzionální, neredukovatelné / jednoduché moduly Yetter – Drinfeld nad (neabelskou) skupinou H = kG jsou jednoznačně uvedeny^[1] přes a třída konjugace ${displaystyle [g] podmnožina G;}$ dohromady s ${displaystyle chi, X;}$ (charakter) neredukovatelné skupinové zastoupení centralizátor ${displaystyle Cent (g);}$ některých zastupujících ${displaystyle gin [g]}$:

  ${displaystyle V = {mathcal {O}} _ {[g]} ^ {chi} = {mathcal {O}} _ {[g]} ^ {X} qquad V = igoplus _ {hin [g]} V_ { h} = igoplus _ {hin [g]} X}$

  • Tak jako G- vezměte modul ${displaystyle {mathcal {O}} _ {[g]} ^ {chi}}$ být indukovaný modul z ${displaystyle chi, X;}$:

  ${displaystyle Ind_ {Cent (g)} ^ {G} (chi) = kGotimes _ {kCent (g)} X}$

  (lze snadno prokázat, že to nezávisí na výběru G)

  • Definovat G-graduation (comodule) přiřadit libovolný prvek ${displaystyle totimes vin kGotimes _ {kCent (g)} X = V}$ do promoční vrstvy:

  ${displaystyle totimes vin V_ {tgt ^ {- 1}}}$

  • Je to velmi zvykem přímo postavit ${displaystyle V;}$ jako přímý součet XA zapište si G-akce výběrem konkrétní sady zástupců ${displaystyle t_ {i};}$ pro ${displaystyle Cent (g);}$-kosety. Z tohoto přístupu se často píše

  ${displaystyle hotimes vsubset [g] imes X ;; leftrightarrow ;; t_ {i} otimes vin kGotimes _ {kCent (g)} Xqquad {ext {with uniquely}}} ;; h = t_ {i} gt_ {i} ^ { -1}}$

  (tento zápis zdůrazňuje promoci${displaystyle hotimes vin V_ {h}}$, spíše než struktura modulu)

Pletení

Nechat H být Hopfovou algebrou s invertibilním protipólem Sa nechte PROTI, Ž být moduly Yetter – Drinfeld znovu H. Pak mapa ${displaystyle c_ {V, W}: Období W o Období V}$,

${displaystyle c (votimes w): = v _ {(- 1)} {oldsymbol {.}} wotimes v _ {(0)},}$

je invertibilní s inverzí

${displaystyle c_ {V, W} ^ {- 1} (wotimes v): = v _ {(0)} další S ^ {- 1} (v _ {(- 1)}) {oldsymbol {.}} w.}$

Dále pro libovolné tři moduly Yetter – Drinfeld U, PROTI, Ž mapa C uspokojuje opletení

${displaystyle (c_ {V, W} otimes mathrm {id} _ {U}) (mathrm {id} _ {V} otimes c_ {U, W}) (c_ {U, V} otimes mathrm {id} _ { W}) = (mathrm {id} _ {W} otimes c_ {U, V}) (c_ {U, W} otimes mathrm {id} _ {V}) (mathrm {id} _ {U} otimes c_ { V, W}): Uotimes Votimes W o Wotimes Votimes U.}$

A monoidní kategorie ${displaystyle {mathcal {C}}}$ skládající se z modulů Yetter – Drinfeld přes Hopfovu algebru H s bijektivním antipodem se nazývá a Kategorie Yetter – Drinfeld. Jedná se o pletenou monoidní kategorii s opletením C výše. Kategorie modulů Yetter – Drinfeld přes Hopfovu algebru H s bijective antipode je označen ${displaystyle {} _ {H} ^ {H} {mathcal {YD}}}$.

Reference

• Montgomery, Susan (1993). Hopfovy algebry a jejich akce na prstencích. Regionální konferenční seriál z matematiky. 82. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-0738-2. Zbl  0793.16029.