Pletená Hopfova algebra - Braided Hopf algebra

v matematika, a pletená Hopfova algebra je Hopfova algebra v pletená monoidní kategorie. Nejběžnější pletené Hopfovy algebry jsou objekty v a Kategorie Yetter – Drinfeld Hopfovy algebry H, zejména Nicholsova algebra pleteného vektorového prostoru v této kategorii.

Tuto představu nelze zaměňovat quasitriangular Hopfova algebra.

Definice

Nechat H být Hopfovou algebrou nad polem k, a předpokládejme, že protipól z H je bijektivní. A Modul Yetter – Drinfeld R přes H se nazývá a pletená bialgebra v kategorii Yetter – Drinfeld ${displaystyle {} _ {H} ^ {H} {mathcal {YD}}}$ -li

• ${displaystyle (R, cdot, eta)}$ je unital asociativní algebra, kde je mapa násobení ${displaystyle cdot: R imes R o R}$ a jednotka ${displaystyle eta: k o R}$ jsou mapy modulů Yetter – Drinfeld,
• ${displaystyle (R, Delta, varepsilon)}$ je koassociativní uhlígebra s počtem ${displaystyle varepsilon}$a obojí ${displaystyle Delta}$ a ${displaystyle varepsilon}$ jsou mapy modulů Yetter – Drinfeld,
• mapy ${displaystyle Delta: R o Rotimes R}$ a ${displaystyle varepsilon: R o k}$ jsou algebraické mapy v této kategorii ${displaystyle {} _ {H} ^ {H} {mathcal {YD}}}$, kde algebraová struktura ${displaystyle Rotimes R}$ je určena jednotkou ${displaystyle eta otimes eta (1): k o Rotimes R}$ a mapa násobení

${displaystyle (Rotimes R) imes (Rotimes R) o Rotimes R, quad (rotimes s, totimes u) mapsto sum _ {i} rt_ {i} otimes s_ {i} u, quad {ext {and}} quad c ( sotimes t) = součet _ {i} t_ {i} další s_ {i}.}$

Tady C je kanonické opletení v kategorii Yetter – Drinfeld ${displaystyle {} _ {H} ^ {H} {mathcal {YD}}}$.

Pletená bialgebra dovnitř ${displaystyle {} _ {H} ^ {H} {mathcal {YD}}}$ se nazývá a pletená Hopfova algebra, pokud existuje morfismus ${displaystyle S: R o R}$ takových modulů Yetter – Drinfeld

${displaystyle S (r ^ {(1)}) r ^ {(2)} = r ^ {(1)} S (r ^ {(2)}) = eta (varepsilon (r))}$ pro všechny ${displaystyle rin R,}$

kde ${displaystyle Delta _ {R} (r) = r ^ {(1)} častěji r ^ {(2)}}$ v mírně upravené Sweedlerova notace - je provedena změna notace, aby nedošlo k záměně níže uvedeného Radfordova biproduktu.

Příklady

• Jakákoli Hopfova algebra je také opletená Hopfova algebra ${displaystyle H = k}$
• A super Hopfova algebra není nic jiného než spletená Hopfova algebra nad skupinová algebra ${displaystyle H = k [mathbb {Z} / 2mathbb {Z}]}$.
• The tenzorová algebra ${displaystyle TV}$ modulu Yetter – Drinfeld ${displaystyle Vin {} _ {H} ^ {H} {mathcal {YD}}}$ je vždy opletená Hopfova algebra. Koprodukt ${displaystyle Delta}$ z ${displaystyle TV}$ je definován takovým způsobem, že prvky PROTI jsou primitivní

${displaystyle Delta (v) = 1otimes v + votimes 1quad {ext {for all}} quad vin V.}$

Počet ${displaystyle varepsilon: TV o k}$ pak splňuje rovnici ${displaystyle varepsilon (v) = 0}$ pro všechny ${displaystyle vin V.}$

• Univerzální kvocient ${displaystyle TV}$, to je stále pletená Hopfova algebra obsahující ${displaystyle V}$ jako primitivní prvky se nazývá Nicholsova algebra. Berou roli kvantových borelových algeber při klasifikaci špičatých Hopfových algeber, analogicky k případu klasické Lieovy algebry.

Radfordův dvojprodukt

Pro každou pletenou Hopfovu algebru R v ${displaystyle {} _ {H} ^ {H} {mathcal {YD}}}$ existuje přirozená Hopfova algebra ${displaystyle R # H}$ který obsahuje R jako subalgebra a H jako Hopfova subalgebra. To se nazývá Radfordův dvojprodukt, pojmenoval podle jeho objevitele, Hopfův algebraista David Radford. Bylo to znovuobjeveno Shahn Majid, kdo to nazval bosonizace.

Jako vektorový prostor ${displaystyle R # H}$ je jen ${displaystyle Rotimes H}$. Struktura algebry ${displaystyle R # H}$ darováno

${displaystyle (r # h) (r '# h') = r (h _ {(1)} {oldsymbol {.}} r ') # h _ {(2)} h',}$

kde ${displaystyle r, r'in R, quad h, h'in H}$, ${displaystyle Delta (h) = h _ {(1)} častěji h _ {(2)}}$ (Sweedlerova notace ) je koproduktem ${displaystyle hin H}$, a ${displaystyle {oldsymbol {.}}: Hotimes R o R}$ je levá akce H na R. Dále koprodukt z ${displaystyle R # H}$ je dáno vzorcem

${displaystyle Delta (r # h) = (r ^ {(1)} # r ^ {(2)} {} _ {(- 1)} h _ {(1)}) často (r ^ {(2)} {} _ {(0)} # h _ {(2)}), quad rin R, hin H.}$

Tady ${displaystyle Delta _ {R} (r) = r ^ {(1)} častěji r ^ {(2)}}$ označuje koprodukt r v R, a ${displaystyle delta (r ^ {(2)}) = r ^ {(2)} {} _ {(- 1)} další r ^ {(2)} {} _ {(0)}}$ je levá součinnost H na ${displaystyle r ^ {(2)} v R.}$

Reference

• Andruskiewitsch, Nicolás a Schneider, Hans-Jürgen, Špičaté Hopfovy algebry„Nové směry v Hopfově algebře, 1–68, matematika. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.