Kvasitriangulární Hopfova algebra - Quasitriangular Hopf algebra

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Quasitriangular Hopf algebra“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a Hopfova algebra, H, je quasitriangular^[1] -li tady existuje an invertibilní živel, R, z ${displaystyle Hotimes H}$ takhle

• ${displaystyle R Delta (x) R ^ {- 1} = (Tcirc Delta) (x)}$ pro všechny ${displaystyle xin H}$, kde ${displaystyle Delta}$ je koprodukt na Ha lineární mapa ${displaystyle T: Hotimes H o Hotimes H}$ darováno ${displaystyle T (xotimes y) = yotimes x}$,

• ${displaystyle (Delta otimes 1) (R) = R_ {13} R_ {23}}$,

• ${displaystyle (1krát Delta) (R) = R_ {13} R_ {12}}$,

kde ${displaystyle R_ {12} = phi _ {12} (R)}$, ${displaystyle R_ {13} = phi _ {13} (R)}$, a ${displaystyle R_ {23} = phi _ {23} (R)}$, kde ${displaystyle phi _ {12}: Hotimes H o Hotimes Hotimes H}$, ${displaystyle phi _ {13}: Hotimes H o Hotimes Hotimes H}$, a ${displaystyle phi _ {23}: Hotimes H o Hotimes Hotimes H}$, jsou algebra morfismy určeno

${displaystyle phi _ {12} (aotimes b) = aotimes botimes 1,}$

${displaystyle phi _ {13} (aotimes b) = aotimes 1otimes b,}$

${displaystyle phi _ {23} (aotimes b) = 1otimes aotimes b.}$

R se nazývá R-matice.

V důsledku vlastností kvasitriangularity byla R-matice, R, je řešením Yang-Baxterova rovnice (a tak a modul PROTI z H lze použít k určení kvaziinvariantů copánky, uzly a Odkazy ). Také v důsledku vlastností kvasitriangularity ${displaystyle (epsilon otimes 1) R = (1otimes epsilon) R = 1in H}$; navíc ${displaystyle R ^ {- 1} = (Sotimes 1) (R)}$, ${displaystyle R = (1krát S) (R ^ {- 1})}$, a ${displaystyle (Sotimes S) (R) = R}$. Jeden může dále ukázat ten antipod S musí být lineární izomorfismus, a tedy S² je automorfismus. Ve skutečnosti, S² je dán konjugací invertovatelným prvkem: ${displaystyle S ^ {2} (x) = uxu ^ {- 1}}$ kde ${displaystyle u: = m (Sotimes 1) R ^ {21}}$ (srov. Ribbon Hopfovy algebry ).

Je možné sestrojit kvasitriangulární Hopfovu algebru z Hopfovy algebry a její duální pomocí Drinfeld kvantová dvojitá konstrukce.

Pokud Hopfova algebra H je quasitriangular, pak kategorie modulů přes H je opleten opletem

${displaystyle c_ {U, V} (uotimes v) = Tleft (Rcdot (uotimes v) ight) = Tleft (R_ {1} uotimes R_ {2} vight)}$.

Kroutící se

Vlastnost bytí a kvazi-trojúhelníková Hopfova algebra je zachována kroucení prostřednictvím invertibilního prvku ${displaystyle F = součet _ {i} f ^ {i} krát f_ {i} v {mathcal {Aotimes A}}}$ takhle ${displaystyle (varepsilon otimes id) F = (idotimes varepsilon) F = 1}$ a uspokojení podmínek pro cyklus

${displaystyle (Fotimes 1) circ (Delta otimes id) F = (1otimes F) circle (idotimes Delta) F}$

Dále ${displaystyle u = součet _ {i} f ^ {i} S (f_ {i})}$ je invertibilní a zkroucený antipod je dán ${displaystyle S '(a) = uS (a) u ^ {- 1}}$, se zkroucenou kombinací, změnou R-matice a jednotkové jednotky podle těch, které jsou definovány pro kvazi-trojúhelníková kvazi-Hopfova algebra. Takový zvrat je známý jako přípustný (nebo Drinfeld) zvrat.

Viz také

• Kvazi-trojúhelníková kvazi-Hopfova algebra
• Ribbova Hopfova algebra

Poznámky

Reference

• Montgomery, Susan (1993). Hopfovy algebry a jejich akce na prstencích. Regionální konferenční seriál z matematiky. 82. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-0738-2. Zbl  0793.16029.
• Montgomery, Susan; Schneider, Hans-Jürgen (2002). Nové směry v Hopfových algebrách. Publikace Výzkumného ústavu matematických věd. 43. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-81512-3. Zbl  0990.00022.