Biharmonická mapa - Biharmonic map

V matematické oblasti diferenciální geometrie, a biharmonická mapa je mapa mezi Riemannian nebo pseudoriemanianské rozdělovače který splňuje určitý čtvrtý řád parciální diferenciální rovnice. A biharmonické dílčí potrubí "Vkládání nebo ponoření do Riemannova nebo pseudo-Riemannova potrubí, které je biharmonickou mapou, když je doména vybavena indukovanou metrikou." Problém porozumění biharmonickým mapám představoval James Eells a Luc Lemaire v roce 1983.^[1] Studium harmonické mapy, jehož studium biharmonických map je výsledkem (jakákoli harmonická mapa je také biharmonickou mapou), bylo (a zůstává) aktivním studijním oborem předchozích 20 let.^[2] Jednoduchý případ biharmonických map je dán vztahem biharmonické funkce.

Definice

Vzhledem k Riemannovým nebo pseudo-Riemannovským varietám (M, G) a (N, h), mapa F z M na N který je diferencovatelný nejméně čtyřikrát, se nazývá a biharmonická mapa -li

${ displaystyle Delta Delta f + součet _ {i = 1} ^ {m} R ^ {h} { big (} Delta f, df (e_ {i}), df (e_ {i}) { big)} = 0;}$

daný bod str z M, každá strana této rovnice je prvkem tečný prostor na N na F(str).^[3] Jinými slovy, výše uvedená rovnice je rovností úseků vektorový svazek F ^*TN → M. V rovnici E₁, ..., E_m je libovolný G- nadpřirozený základ tečný prostor na M a R^h je Riemannův tenzor zakřivení podle úmluvy R(u, proti, w) = ∇_u∇_protiw − ∇_proti∇_uw − ∇_{[u, proti]}w. Množství ∆F je "napěťové pole" nebo "laplacián" z F, jak ji představili Eells a Sampson při studiu harmonických map.^[4]

Z hlediska stopa, vnitřní produkt, a zarazit operace lze biharmonickou rovnici mapy zapsat jako

${ displaystyle Delta Delta f + operatorname {tr} _ {g} { Big (} f ^ { ast} { big (} iota _ { Delta f} R ^ {h} { big) } { Big)} = 0.}$

Z hlediska místních souřadnic Xⁱ pro M a místní souřadnice y^α pro N, rovnice biharmonické mapy je zapsána jako

${ displaystyle g ^ {ij} vlevo ({ frac { částečné} { částečné x ^ {i}}} vlevo ({ frac { částečné ( Delta f) ^ { alpha}} { částečné x ^ {j}}} + { frac { částečné f ^ { beta}} { částečné x ^ {j}}} Gamma _ { beta gamma} ^ { alpha} ( Delta f ) ^ { gamma} vpravo) - Gamma _ {ij} ^ {k} vlevo ({ frac { částečné ( Delta f) ^ { alpha}} { částečné x ^ {k}}} + { frac { částečné f ^ { beta}} { částečné x ^ {k}}} Gamma _ { beta gamma} ^ { alpha} ( Delta f) ^ { gamma} vpravo ) + { frac { částečné f ^ { delta}} { částečné x ^ {i}}} gama _ { delta epsilon} ^ { alfa} vlevo ({ frac { částečné ( Delta f) ^ { epsilon}} { částečné x ^ {j}}} + { frac { částečné f ^ { beta}} { částečné x ^ {j}}} Gamma _ { beta gamma} ^ { epsilon} ( Delta f) ^ { gamma} right) right) + g ^ {ij} R _ { beta gamma delta} ^ { alpha} ( Delta f) ^ { beta} { frac { částečné f ^ { gamma}} { částečné x ^ {i}}} { frac { částečné f ^ { delta}} { částečné x ^ {j}}} = 0,}$

ve kterém Konvence Einsteinova součtu se používá s následujícími definicemi Christoffel symboly, Riemannův tenzor zakřivení, a napěťové pole:

${ displaystyle { begin {aligned} Gamma _ {ij} ^ {k} & = { frac {1} {2}} g ^ {kl} { Big (} { frac { částečný g_ {jl }} { částečné x ^ {i}}} + { frac { částečné g_ {il}} { částečné x ^ {j}}} - { frac { částečné g_ {ij}} { částečné x ^ {l}}} { Big)} Gamma _ { beta gamma} ^ { alpha} & = { frac {1} {2}} h ^ { alpha delta} { Big (} { frac { částečné h _ { gamma delta}} { částečné y ^ { beta}}} + { frac { částečné h _ { beta delta}} { částečné y ^ { gamma }}} - { frac { částečné h _ { beta gamma}} { částečné y ^ { delta}}} { Big)} R _ { beta gamma delta} ^ { alpha} & = { frac { částečné Gamma _ { gamma delta} ^ { alpha}} { částečné y ^ { beta}}} - { frac { částečné Gamma _ { beta delta} ^ { alpha}} { částečné y ^ { gamma}}} + Gamma _ { beta rho} ^ { alpha} Gamma _ { gamma delta} ^ { rho} - Gamma _ { gamma rho} ^ { alpha} Gamma _ { beta delta} ^ { rho} ( Delta f) ^ { alpha} & = g ^ {ij} { Big (} { frac { částečné ^ {2} f ^ { alfa}} { částečné x ^ {i} částečné x ^ {j}}} - Gamma _ {ij} ^ {k} { frac { částečné f ^ { alpha}} { částečné x ^ {k}}} + { frac { částečné f ^ { beta}} { částečné x ^ {i}}} Ga mma _ { beta gamma} ^ { alpha} { frac { částečné f ^ { gamma}} { částečné x ^ {j}}} { Big)}. end {zarovnáno}}}$

Z každé z těchto prezentací rovnice je zřejmé, že každá harmonická mapa je automaticky biharmonická. Z tohoto důvodu, a správná biharmonická mapa odkazuje na biharmonickou mapu, která není harmonická.

Ve zvláštním prostředí, kde F je (pseudo-) Riemannovo ponoření, což znamená, že je ponoření a to G se rovná indukovaná metrika F ^*h, jeden říká, že má biharmonické dílčí potrubí místo biharmonické mapy. Protože střední vektor zakřivení z F se rovná laplacian z F : (M, F ^*h) → (N, h), jeden ví, že ponoření je minimální právě když je harmonický. Zejména jakékoli minimální ponoření je automaticky biharmonickým dílčím potrubím. A správné biharmonické podmanifold odkazuje na biharmonické dílčí potrubí, které není minimální.

Motivace pro rovnici biharmonické mapy je z bienergy funkční

${ displaystyle E_ {2} (f) = { frac {1} {2}} , int _ {M} | Delta f | _ {h} ^ {2} , dv_ {g},}$

v prostředí kde M je Zavřeno a G a h jsou oba Riemannian; dv_G označuje objem opatření na ${ displaystyle M}$ vyvolané G. Eells & Lemaire v roce 1983 navrhli studii o kritické body této funkční.^[5] Guo Ying Jiang v roce 1986 vypočítal svůj první variační vzorec, čímž našel výše uvedenou rovnici biharmonické mapy jako odpovídající Euler-Lagrangeovu rovnici.^[6] Harmonické mapy odpovídají kritickým bodům, pro které bienergická funkce nabývá minimální možné hodnoty nula.

Příklady a klasifikace

Řada příkladů biharmonických map, například inverze z stereografické projekce ve zvláštním případě čtyř dimenzí a inverzí propíchnutí Euklidovský prostor, jsou známy.^[7] Existuje mnoho příkladů dvojharmonických podmanifoldů, například (pro všechny k) zobecněný Clifford torus

${ displaystyle { Big {} x in mathbb {R} ^ {n + 2}: x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {k + 1} ^ {2} = x_ {k +2} ^ {2} + cdots + x_ {n + 2} ^ {2} = { frac {1} {2}} { Big }},}$

jako podmanif (n + 1)-koule.^[8] Je minimální, pokud a pouze pokud n je sudé a rovno 2k.

Biharmonické křivky jsou trojrozměrné vesmírné formy lze studovat prostřednictvím Frenetovy rovnice. Snadno z toho vyplývá, že každá biharmonická křivka s konstantní rychlostí v trojrozměrné formě nepozitivního zakřivení musí být geodetická.^[9] Jakékoli biharmonické křivky konstantní rychlosti v kulaté trojrozměrné sféře S³ lze považovat za řešení určitého konstantní koeficient lineární obyčejné diferenciální rovnice čtvrtého řádu pro ℝ⁴-hodnotená funkce.^[10] Jako takovou lze situaci zcela analyzovat, takže každá taková křivka je až do izometrie koule:

• parametrizace křižovatky s konstantní rychlostí S³ ⊂ ℝ⁴ s dvourozměrným lineárním podprostorem ℝ × ℝ × {0} × {0}
• parametrizace křižovatky s konstantní rychlostí S³ ⊂ ℝ⁴ s dvourozměrným afinním podprostorem ℝ × ℝ × {d₁} × {d₂}, pro jakoukoli volbu (d₁, d₂) který je na kruhu o poloměru 2^−1/2 kolem původu v ℝ²
• reparametrizace konstantní rychlosti

${ displaystyle t mapsto { Big (} { frac { cos at} { sqrt {2}}}, { frac { sin at} { sqrt {2}}}, { frac { cos bt} { sqrt {2}}}, { frac { sin bt} { sqrt {2}}} { Big)}}$

pro všechny (A, b) na kruhu o poloměru 2^1/2 kolem původu v ℝ².

Zejména každá biharmonická křivka s konstantní rychlostí S³ má konstantní geodetické zakřivení.

V důsledku čistě lokálního studia Gauss-Codazziho rovnice a rovnice biharmonické mapy, jakýkoli připojený biharmonický povrch v S³ musí mít konstantní střední zakřivení.^[11] Pokud je nenulová (takže povrch není minimální), pak druhá základní forma musí mít konstantní délku rovnou 2^1/2, jak vyplývá z rovnice biharmonické mapy. Povrchy s tak silnými geometrickými podmínkami lze zcela klasifikovat, takže každý připojený biharmonický povrch je uvnitř S³ musí být buď lokálně (až do izometrie) součástí hypersféry

${ displaystyle left {{ Big (} (w, x, y, { frac {1} { sqrt {2}}} { Big)}: w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} = { frac {1} {2}} doprava },}$

nebo minimální.^[12] Podobným způsobem každá biharmonická hyperplocha Euklidovský prostor který má konstantní střední zakřivení, musí být minimální.^[13]

Guo Ying Jiang ukázal, že pokud G a h jsou Riemannian, a pokud M je uzavřen a h má nepozitivní řezové zakřivení, pak mapa z (M, G) na (N, h) je biharmonická právě tehdy, je-li harmonická.^[14] Důkazem je ukázat, že vzhledem k předpokladu řezu zakřivení je Laplacian z |∆F|² je nezáporné, kdy maximální princip platí. Tento výsledek a důkaz lze přirovnat k mizející větě Eells & Sampson, která říká, že pokud navíc Ricciho zakřivení z G je nezáporná, pak mapa z (M, G) na (N, h) je harmonický právě tehdy, když je zcela geodetické.^[15] Jako zvláštní případ Jiangova výsledku je uzavřené podrozměrné potrubí Riemannova potrubí nepozitivního sekčního zakřivení biharmonické právě tehdy, pokud je minimální. Částečně na základě těchto výsledků se to domnívalo každý biharmonické submanifold Riemannova potrubí nonpositive sekční zakřivení musí být minimální.^[16] To je však nyní známo jako nepravdivé.^[17] Zvláštní případ submanifoldů euklidovského prostoru je starší domněnka Bang-Yen Chen.^[18] Chenova domněnka byla prokázána v řadě geometricky zvláštních případů.^[19]

Reference